Para todo inteiro a, prove que 4 nmid(a^2+2).

Passo 1

Resumo: O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro a, a^2+2 não é múltiplo de 4. O conteúdo envolve divisibilidade e análise de casos segundo a paridade de a.

Passo 2

Lembrete: Um inteiro n é múltiplo de 4 se e somente se nequiv0pmod4. Vamos provar que a^2+2 é sempre congruente a 2 ou 3 módulo 4, nunca a 0.

Passo 3

Caso a par: escrevemos a=2k com kin Z. Então
a^2+2=(2k)^2+2=4k^2+2=2(2k^2+1)
Como 2k^2+1 é ímpar, a^2+2 tem exatamente um fator 2, logo
a^2+2equiv2pmod4
e não é múltiplo de 4.

Passo 4

Caso a ímpar: escrevemos a=2k+1. Então
a^2+2=(2k+1)^2+2=4k^2+4k+3=4k(k+1)+3
Como k(k+1) é par, existe m tal que k(k+1)=2m, então
a^2+2=4cdot2m+3=8m+3equiv3pmod4
Também não é múltiplo de 4.

Passo 5

Conclusão: em ambos os casos a^2+2notequiv0pmod4, logo 4nmid(a^2+2) para todo inteiro a.

Resposta

4\nmid(a^2+2) para todo inteiro a.

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