Para todo inteiro
, prove que
.
Passo 1
Resumo: O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro
,
não é múltiplo de 4. O conteúdo envolve divisibilidade e análise de casos segundo a paridade de
.
Passo 2
Lembrete: Um inteiro
é múltiplo de 4 se e somente se
. Vamos provar que
é sempre congruente a 2 ou 3 módulo 4, nunca a 0.
Passo 3
Caso
par: escrevemos
com
. Então
Como
é ímpar,
tem exatamente um fator 2, logo
e não é múltiplo de 4.
Passo 4
Caso
ímpar: escrevemos
. Então
Como
é par, existe
tal que
, então
Também não é múltiplo de 4.
Passo 5
Conclusão: em ambos os casos
, logo
para todo inteiro
.
Resposta
4\nmid(a^2+2) para todo inteiro a.