Mostre que a solução do modelo (1) é dada por
N(t)=N_{0} e_{\tilde{q}}\left(r_{q} t\right)
onde e_{\tilde{q}}(x) é a função exponencial generalizada e r_{q} \equiv r / N_{0}^{\tilde{q}}. Como de praxe, N_{0} é a população inicial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a solução do modelo (1) é
N(t)=N_{0} e_{\tilde{q}}\left(r_{q} t\right),
onde e_{\tilde{q}}(x) é a exponencial generalizada e r_{q}\equiv r/N_{0}^{\tilde{q}}. As informações que temos (que vou escrever explicitamente para trabalhar com elas) são:
  • A condição inicial é \,N(0)=N_{0}\, (população inicial).
  • O modelo (1) que será resolvido é a equação diferencial
\frac{dN}{dt}=r\,N^{\,1-\tilde{q}},
com r e \tilde{q} constantes.
O objetivo é resolver essa EDO e reescrever a solução usando e_{\tilde{q}}(x) e r_{q}.

Passo 2

Vamos resolver a EDO por separação de variáveis. A ideia da separação é reunir todos os termos que dependem de N de um lado e os que dependem de t do outro, de forma que possamos integrar cada lado em relação à sua variável. Partindo de
\frac{dN}{dt}=r\,N^{\,1-\tilde{q}},
colocamos os termos em N do lado esquerdo e dt do lado direito:
\frac{dN}{N^{\,1-\tilde{q}}}=r\,dt.
Aqui supõe-se N>0 (população positiva), então não há problema em dividir por potências de N.

Passo 3

Integrando ambos os lados em t (o lado esquerdo em N, o direito em t):
\int \! N^{\,\tilde{q}-1}\,dN = \int \! r\,dt.
Agora usamos a fórmula básica de integração de potências: para a\neq -1,
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}.
Aqui a=\tilde{q}-1, então a+1=\tilde{q}. Assim, para \tilde{q}\neq 0 obtemos
\frac{1}{\tilde{q}}\,N^{\,\tilde{q}} = r t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Determinar C usando a condição inicial N(0)=N_{0}. Substituindo t=0 e N=N_{0} na equação integrada:
\frac{1}{\tilde{q}}\,N_{0}^{\,\tilde{q}} = C.
Substituindo C de volta:
\frac{1}{\tilde{q}}\,N^{\,\tilde{q}} = r t + \frac{1}{\tilde{q}}\,N_{0}^{\,\tilde{q}}.
Multiplicando por \tilde{q} (assumindo \tilde{q}\neq 0):
N^{\,\tilde{q}} = N_{0}^{\,\tilde{q}} + \tilde{q}\,r\,t.

Passo 5

Isolando N(t) elevando ambos os lados à potência 1/\tilde{q}:
N(t)=\left(N_{0}^{\,\tilde{q}}+\tilde{q}\,r\,t\right)^{\!1/\tilde{q}}.
Agora fatoramos N_{0}^{\,\tilde{q}} dentro da potência para expressar a solução em termos de N_{0} multiplicando por um fator dependente de t:
N(t)=N_{0}\left(1+\frac{\tilde{q}\,r\,t}{N_{0}^{\,\tilde{q}}}\right)^{\!1/\tilde{q}}.
Definindo
r_{q}\equiv\frac{r}{N_{0}^{\,\tilde{q}}},
temos
N(t)=N_{0}\left(1+\tilde{q}\,r_{q}\,t\right)^{\!1/\tilde{q}}.

Passo 6

Agora introduzimos a exponencial generalizada. Para \tilde{q}\neq 0 define-se
e_{\tilde{q}}(x)\equiv\left(1+\tilde{q}\,x\right)^{\!1/\tilde{q}}.
Com essa definição a solução fica exatamente
N(t)=N_{0}\,e_{\tilde{q}}\left(r_{q}\,t\right).
Observação sobre domínio: para a solução ser real pede-se 1+\tilde{q}\,r_{q}\,t>0; isso impõe um intervalo de validade em t quando \tilde{q}\,r_{q}<0.

Passo 7

Caso especial \tilde{q}=0: a integral do Passo 3 não está válida diretamente porque dividimos por \tilde{q}. Se \tilde{q}=0 a EDO original é
\frac{dN}{dt}=r\,N,
cuja solução clássica com N(0)=N_{0} é
N(t)=N_{0}e^{r t}.
Isto é consistente com a definição limite da exponencial generalizada:
\lim_{\tilde{q}\to 0}e_{\tilde{q}}(x)=\lim_{\tilde{q}\to 0}\left(1+\tilde{q}\,x\right)^{1/\tilde{q}}=e^{x},
e com r_{q}\to r quando \tilde{q}\to 0.

Resposta

N(t)=N_{0}\,e_{\tilde{q}}\left(r_{q}\,t\right)
\text{com }r_{q}\equiv\frac{r}{N_{0}^{\tilde{q}}}.

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