Mostre que a solução do modelo (1) é dada por
onde
é a função exponencial generalizada e
. Como de praxe,
é a população inicial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a solução do modelo (1) é
onde
é a exponencial generalizada e
. As informações que temos (que vou escrever explicitamente para trabalhar com elas) são:
- A condição inicial é
(população inicial). - O modelo (1) que será resolvido é a equação diferencial
com
e
constantes.
O objetivo é resolver essa EDO e reescrever a solução usando e
.
O objetivo é resolver essa EDO e reescrever a solução usando
Passo 2
Vamos resolver a EDO por separação de variáveis. A ideia da separação é reunir todos os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro, de forma que possamos integrar cada lado em relação à sua variável. Partindo de
colocamos os termos em
do lado esquerdo e
do lado direito:
Aqui supõe-se
(população positiva), então não há problema em dividir por potências de
.
Passo 3
Integrando ambos os lados em
(o lado esquerdo em
, o direito em
):
Agora usamos a fórmula básica de integração de potências: para
,
Aqui
, então
. Assim, para
obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Determinar
usando a condição inicial
. Substituindo
e
na equação integrada:
Substituindo
de volta:
Multiplicando por
(assumindo
):
Passo 5
Isolando
elevando ambos os lados à potência
:
Agora fatoramos
dentro da potência para expressar a solução em termos de
multiplicando por um fator dependente de
:
Definindo
temos
Passo 6
Agora introduzimos a exponencial generalizada. Para
define-se
Com essa definição a solução fica exatamente
Observação sobre domínio: para a solução ser real pede-se
; isso impõe um intervalo de validade em
quando
.
Passo 7
Caso especial
: a integral do Passo 3 não está válida diretamente porque dividimos por
. Se
a EDO original é
cuja solução clássica com
é
Isto é consistente com a definição limite da exponencial generalizada:
e com
quando
.