Uma bola sólida uniforme está enrolada por algumas voltas de corda leve. Se a extremidade da corda é mantida fixa e a bola cai sob a ação da gravidade, qual é a aceleração do centro da bola?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma bola sólida e uniforme enrolada com corda leve. Uma das pontas da corda está fixa, e quando soltamos a bola, ela começa a cair por causa da gravidade. O que precisamos descobrir é qual a aceleração do centro da bola enquanto ela cai. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de Forças, Dinâmica de Rotação e Momento de Inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola. Existem duas forças principais:
  1. Peso §: É a força da gravidade puxando a bola para baixo. Calcula-se como $ P = mg $, onde $ m $ é a massa da bola e $ g $ é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão (T): É a força na corda que puxa a bola para cima.

Passo 3

Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton para o movimento de translação (a bola caindo). A fórmula é:
P - T = ma
Substituindo o peso:
mg - T = ma
Aqui, $ a $ é a aceleração do centro da bola que queremos encontrar.

Passo 4

Além disso, a bola está girando enquanto cai, então precisamos considerar a dinâmica de rotação. A força de tensão na corda também cria um torque que faz a bola girar. A fórmula do torque ($ \tau $) é:
tau
Onde $ r $ é o raio da bola.
O Momento de Inércia (I) para uma bola sólida é:
tau = T cdot r
E a segunda lei da rotação é:
r
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular. Como a corda não está deslizante, a aceleração angular está relacionada com a aceleração linear $ a $ pela relação:
I = 25mr^2
Substituindo tudo:
tau = I cdot alpha
Simplificando:
alpha

Passo 5

Agora, voltamos à equação da segunda lei de Newton para a translação:
mg - T = ma
Substituindo $ T $ pela expressão que encontramos:
T
Juntando os termos:
mg - 25ma = ma
mg = ma + 25ma
Agora, isolamos $ a $:
mg = 75ma

Resposta

A aceleração do centro da bola é $ \frac{5}{7}g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

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