Sabe-se que um conjunto de forças
age em certo corpo rígido de modo que ele está (a) em equilíbrio translacional e (b) em equilíbrio rotacional em relação a certo ponto
. Prove que esse conjunto de forças está também em equilíbrio rotacional em relação a qualquer outro ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de forças
que atuam em um corpo rígido. Esse corpo está:
(a) em equilíbrio translacional, ou seja, a soma das forças é zero;
(b) em equilíbrio rotacional em relação a um ponto , o que significa que a soma dos torques em
é zero.
(a) em equilíbrio translacional, ou seja, a soma das forças é zero;
(b) em equilíbrio rotacional em relação a um ponto
O que precisamos provar é que esse mesmo conjunto de forças também está em equilíbrio rotacional em relação a qualquer outro ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de estática e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa estar em equilíbrio translacional. Isso quer dizer que a soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo é igual a zero:
Isso significa que não há aceleração linear no corpo.
Passo 3
Agora, sobre o equilíbrio rotacional em relação ao ponto
. Isso quer dizer que a soma dos torques, ou momentos das forças, em
é zero:
O torque de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição
, que vai do ponto
até o ponto de aplicação da força, e a própria força:
Passo 4
Queremos mostrar que a soma dos torques em relação a um outro ponto
também é zero:
Para isso, vamos relacionar os torques em
com os torques em
.
Passo 5
A relação entre os vetores posição em
e em
é:
Onde
é o vetor que vai de
para
.
Passo 6
Vamos expressar o torque em
:
Substituindo
:
Passo 7
Somando para todas as forças:
Mas sabemos que:
E, como o corpo está em equilíbrio translacional:
Então:
Resposta
Portanto, provamos que se o corpo está em equilíbrio translacional e rotacional em relação a um ponto
, ele também está em equilíbrio rotacional em relação a qualquer outro ponto
.