Sabe-se que um conjunto de forças F1, F2, ldots age em certo corpo rígido de modo que ele está (a) em equilíbrio translacional e (b) em equilíbrio rotacional em relação a certo ponto O. Prove que esse conjunto de forças está também em equilíbrio rotacional em relação a qualquer outro ponto O^prime.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de forças F1, F2, ldots que atuam em um corpo rígido. Esse corpo está:
(a) em equilíbrio translacional, ou seja, a soma das forças é zero;
(b) em equilíbrio rotacional em relação a um ponto O, o que significa que a soma dos torques em O é zero.
O que precisamos provar é que esse mesmo conjunto de forças também está em equilíbrio rotacional em relação a qualquer outro ponto O^prime. Para isso, vamos usar conceitos de estática e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa estar em equilíbrio translacional. Isso quer dizer que a soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo é igual a zero:
sum Fi = 0
Isso significa que não há aceleração linear no corpo.

Passo 3

Agora, sobre o equilíbrio rotacional em relação ao ponto O. Isso quer dizer que a soma dos torques, ou momentos das forças, em O é zero:
sum tauO = 0
O torque de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição rO, que vai do ponto O até o ponto de aplicação da força, e a própria força:
tauO = rO times F

Passo 4

Queremos mostrar que a soma dos torques em relação a um outro ponto O^prime também é zero:
sum tauO^prime = 0
Para isso, vamos relacionar os torques em O^prime com os torques em O.

Passo 5

A relação entre os vetores posição em O^prime e em O é:
rO^prime = rO + d
Onde d é o vetor que vai de O para O^prime.

Passo 6

Vamos expressar o torque em O^prime:
tauO^prime = rO^prime times F
Substituindo rO^prime:
tauO^prime = (rO + d) times F = tauO + d times F

Passo 7

Somando para todas as forças:
sum tauO^prime = sum tauO + d times sum F
Mas sabemos que:
sum tauO = 0
E, como o corpo está em equilíbrio translacional:
sum F = 0
Então:
sum tauO^prime = 0 + d times 0 = 0

Resposta

Portanto, provamos que se o corpo está em equilíbrio translacional e rotacional em relação a um ponto O, ele também está em equilíbrio rotacional em relação a qualquer outro ponto O^prime.

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