Considere a transformação linear A: R^2 longrightarrow R^2 dada por A(x, y)=(x, x-y);
A matriz do operador A na base canônica é diagonalizável? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado diz que A:R^2toR^2 é dada por
A(x,y) = (x,;x - y)
O conteúdo é diagonalização de matriz: precisamos escrever a matriz de A na base canônica, achar seus autovalores e autovetores, e verificar se temos uma base de R^2 formada por autovetores.

Passo 2

Na base canônica e1,e2, temos
A(e1)=A(1,0)=(1,1), A(e2)=A(0,1)=(0,-1)
Logo a matriz de A é
M = 1 & 0 1 & -1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de M:
det(M - lambda I) = det1-lambda & 0 1 & -1-lambda = (1-lambda)(-1-lambda) = lambda^2 - 1

Passo 4

As raízes de lambda^2 - 1 = 0 são
lambda1 = 1, lambda2 = -1,
que são distintos e reais.

Passo 5

Agora achamos os autovetores:
Para , resolvemos
logo um autovetor é .
Para , resolvemos
logo um autovetor é .
Esses dois autovetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Resposta

Sim. A matriz é diagonalizável pois tem dois autovalores reais distintos lambda=1 e lambda=-1, e seus autovetores (2,1) e (0,1) são linearmente independentes, formando base de R^2.

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