Seja
um número natural. Prove que a divisão de
por 6 nunca deixa resto 2.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural
, ao dividir
por 6 o resto nunca é 2. O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, especialmente propriedades dos quadrados módulo 3.
Passo 2
Analisamos
módulo 3. Como qualquer inteiro satisfaz uma das congruências
temos:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Logo, de modo geral,
Passo 3
Suponha, por absurdo, que ao dividir
por 6 o resto seja 2. Isso significa
Mas de uma congruência módulo 6 segue-se a mesma relação módulo 3, isto é,
Isso contradiz o resultado do passo anterior, que diz que
só pode ser congruente a 0 ou 1 módulo 3.
Resposta
Não existe número natural
tal que, na divisão de
por 6, o resto seja 2.