Seja m um número natural. Prove que a divisão de m^{2} por 6 nunca deixa resto 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural m, ao dividir m^2 por 6 o resto nunca é 2. O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, especialmente propriedades dos quadrados módulo 3.

Passo 2

Analisamos m módulo 3. Como qualquer inteiro satisfaz uma das congruências
m\equiv0\pmod3,\quad m\equiv1\pmod3\quad\text{ou}\quad m\equiv2\pmod3,
temos:
  • Se m\equiv0\pmod3, então m^2\equiv0^2\equiv0\pmod3.
  • Se m\equiv1\pmod3, então m^2\equiv1^2\equiv1\pmod3.
  • Se m\equiv2\pmod3, então m^2\equiv2^2\equiv4\equiv1\pmod3.
Logo, de modo geral,
m^2\equiv0\pmod3\quad\text{ou}\quad m^2\equiv1\pmod3.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que ao dividir m^2 por 6 o resto seja 2. Isso significa
m^2\equiv2\pmod6.
Mas de uma congruência módulo 6 segue-se a mesma relação módulo 3, isto é,
m^2\equiv2\pmod6\quad\Longrightarrow\quad m^2\equiv2\pmod3.
Isso contradiz o resultado do passo anterior, que diz que m^2 só pode ser congruente a 0 ou 1 módulo 3.

Resposta

Não existe número natural m tal que, na divisão de m^2 por 6, o resto seja 2.

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