Mostre que
Para qualque n \in \mathbb{N}, o número 4 não divide n^{2}+2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o número n^{2}+2 não é múltiplo de 4. O conteúdo principal aqui é divisibilidade e aritmética modular (congruências módulo 4). Vamos usar a classificação de n em par ou ímpar para avaliar n^{2}+2\pmod{4}.

Passo 2

Suponha primeiro que n seja par. Então existe k\in\mathbb{N} tal que
n = 2k.
Nesse caso
n^{2} + 2 = (2k)^{2} + 2 = 4k^{2} + 2 = 2\bigl(2k^{2}+1\bigr).
Repare que 2k^{2}+1 é ímpar, logo o fator 2k^{2}+1 não contém outro 2. Isso mostra que n^{2}+2 é divisível por 2 mas não por 4, ou seja, 4\nmid n^{2}+2.

Passo 3

Agora suponha que n seja ímpar. Então existe k\in\mathbb{N} tal que
n = 2k+1.
Calculamos
n^{2}+2 = (2k+1)^{2} + 2 = 4k^{2} + 4k + 1 + 2 = 4k(k+1) + 3.
Note que um dos números k ou k+1 é par, logo k(k+1) é par e 4k(k+1) é múltiplo de 8. Assim
n^{2}+2 \equiv 3 \pmod{4},
mostrando que não é congruente a 0 módulo 4, ou seja, 4\nmid n^{2}+2.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, seja n par ou ímpar, obtemos sempre
n^{2}+2\equiv 2\text{ ou }3\pmod{4},
logo 4\nmid n^{2}+2.

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