Encontre as soluções reais do sistema llx+y+raizx+y & =12 x^2+y^2 & =45.
(Resp: (3,6),(6,3))

Passo 1

O sistema a ser resolvido é dado por
x + y + raizx+y = 12 x^2 + y^2 = 45
Conteúdo: sistemas de equações não-lineares que envolvem radical e soma de quadrados. Vamos precisar de substituição, usar identidades algébricas para soma e produto de raízes e propriedades de radicais.

Passo 2

Para simplificar a parte que contém o radical, definimos
s = x + y
Substituindo na primeira equação, obtemos
s + raizs = 12

Passo 3

Resolvendo a equação em s, introduzimos t = raizs com t >= 0. Assim,
t^2 + t - 12 = 0
A solução dessa quadrática é
t = -1 pm raiz1 + 482 = -1 pm 72
Como t >= 0, só vale t = 3. Logo s = t^2 = 9, ou seja, x + y = 9.

Passo 4

Para achar xy, usamos a identidade
(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
Substituindo x+y = 9 e x^2 + y^2 = 45 vem
81 = 45 + 2xy
Portanto
xy = 18

Passo 5

Agora, sabendo que x+y = 9 e xy = 18, vemos que x e y são raízes da quadrática
t^2 - 9t + 18 = 0
Resolvendo,
t = 9 pm raiz81 - 722 = 9 pm 32Rightarrow t = 6 ou 3
Isso gera os pares (x,y) = (6,3) ou (3,6), que satisfazem o sistema.

Resposta

As soluções reais são (3,6) e (6,3).

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