Mostre que
Se
é invertível e
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Dado que a matriz
é invertível e tem dimensão . - Sabemos que uma coluna-vetor
satisfaz . - O objetivo é mostrar que necessariamente
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “matriz invertível” — isto é essencial para resolver a questão.
Dizemos que a matriz é invertível se existe outra matriz
de dimensão
tal que
Dizemos que a matriz
onde
é a matriz identidade
. A matriz identidade
tem
s na diagonal e
s fora da diagonal, e tem a propriedade importante de que, para qualquer vetor
de dimensão compatível,
Passo 3
Agora aplicamos a definição de inversa ao nosso problema. Partimos da igualdade dada:
Como
existe, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade à esquerda por
. Isso é permitido porque as dimensões são compatíveis (
é
e
é um vetor coluna de dimensão
). Fazendo isso obtemos
Passo 4
Usamos a associatividade da multiplicação de matrizes (regra:
) para reescrever o lado esquerdo:
Pelo passo 2 sabemos que
. Então a expressão fica
Passo 5
Do lado esquerdo,
pela propriedade da identidade. Do lado direito, vamos justificar por que
: para qualquer matriz
e o vetor zero
, cada componente do produto
é uma soma de entradas de
multiplicadas por zeros, logo dá zero; portanto
. Aplicando isso com
temos
Passo 6
Resumo do raciocínio em forma prática (como fazer na prova): se tiveres
e souberes que
é invertível, multiplica ambos os lados por
à esquerda, usa
e
, e lembra que
. Assim concluis que
. Isso mostra que a única solução do sistema homogêneo é o vetor nulo.