Mostre que
Se A_{(n \times n)} é invertível e A X=\mathbf{0}, então X=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dado que a matriz A é invertível e tem dimensão (n\times n).
  • Sabemos que uma coluna-vetor X satisfaz \;A X=\mathbf{0}.
  • O objetivo é mostrar que necessariamente \;X=\mathbf{0}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “matriz invertível” — isto é essencial para resolver a questão.
Dizemos que a matriz A é invertível se existe outra matriz A^{-1} de dimensão (n\times n) tal que
A^{-1}A = AA^{-1} = I,
onde I é a matriz identidade (n\times n). A matriz identidade I tem 1s na diagonal e 0s fora da diagonal, e tem a propriedade importante de que, para qualquer vetor Y de dimensão compatível,
IY = Y.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de inversa ao nosso problema. Partimos da igualdade dada:
A X = \mathbf{0}.
Como A^{-1} existe, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade à esquerda por A^{-1}. Isso é permitido porque as dimensões são compatíveis ( A^{-1} é (n\times n) e A X é um vetor coluna de dimensão n). Fazendo isso obtemos
A^{-1}(A X) = A^{-1}\mathbf{0}.

Passo 4

Usamos a associatividade da multiplicação de matrizes (regra: P(QR)=(PQ)R) para reescrever o lado esquerdo:
(A^{-1}A) X = A^{-1}\mathbf{0}.
Pelo passo 2 sabemos que A^{-1}A = I. Então a expressão fica
I X = A^{-1}\mathbf{0}.

Passo 5

Do lado esquerdo, I X = X pela propriedade da identidade. Do lado direito, vamos justificar por que A^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}: para qualquer matriz M e o vetor zero \mathbf{0}, cada componente do produto M\mathbf{0} é uma soma de entradas de M multiplicadas por zeros, logo dá zero; portanto M\mathbf{0}=\mathbf{0}. Aplicando isso com M=A^{-1} temos
X = \mathbf{0}.

Passo 6

Resumo do raciocínio em forma prática (como fazer na prova): se tiveres \;A X=\mathbf{0} e souberes que A é invertível, multiplica ambos os lados por A^{-1} à esquerda, usa A^{-1}A=I e I X=X, e lembra que A^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}. Assim concluis que X=\mathbf{0}. Isso mostra que a única solução do sistema homogêneo é o vetor nulo.

Resposta

X=\mathbf{0}

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