Problema 4 Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
E E^{T}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,E E^{T}\,. As informações relevantes que o enunciado dá são os elementos da matriz E:
E=\begin{pmatrix} 6 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 1 & 2\\[4pt] 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}
Então a tarefa é: calcular o produto da matriz E pela sua transposta E^{T}.]

Passo 2

Primeiro vamos recordar o que é a transposta. Dada uma matriz E=(E_{ij}), a transposta E^{T} tem entradas (E^{T})_{ij}=E_{ji}. Ou seja, trocamos linhas por colunas. Aplicando isso a E obtemos
E^{T}=\begin{pmatrix} 6 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}]

Passo 3

Verificação de dimensões e definição do produto. A matriz E é 3\times3 e E^{T} também é 3\times3. Logo o produto E E^{T} está definido e o resultado será uma matriz 3\times3.
Regra de multiplicação (explicando passo a passo): o elemento (i,j) do produto E E^{T} é dado por
(EE^{T})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} E_{ik}\,(E^{T})_{kj}.
Como a coluna j de E^{T} é exatamente a linha j de E, outra forma prática de pensar é:
(EE^{T})_{ij}=\text{(linha \(i\) de \(E\))}\cdot\text{(linha \(j\) de \(E\))},
ou seja, é o produto escalar entre a linha i e a linha j de E. Isso é útil porque mostra imediatamente que EE^{T} é simétrica (pois r_i\cdot r_j = r_j\cdot r_i).

Passo 4

Agora calculamos cada entrada usando produto escalar entre linhas de E. Denotando as linhas de E por
r_1=(6,1,3),\quad r_2=(-1,1,2),\quad r_3=(4,1,3),
temos:
(EE^{T})_{11}=r_1\cdot r_1=6\cdot6 + 1\cdot1 + 3\cdot3 = 36 + 1 + 9 = 46.
(EE^{T})_{12}=r_1\cdot r_2=6\cdot(-1) + 1\cdot1 + 3\cdot2 = -6 + 1 + 6 = 1.
(EE^{T})_{13}=r_1\cdot r_3=6\cdot4 + 1\cdot1 + 3\cdot3 = 24 + 1 + 9 = 34.
(EE^{T})_{21}=r_2\cdot r_1=-1\cdot6 + 1\cdot1 + 2\cdot3 = -6 + 1 + 6 = 1.
(EE^{T})_{22}=r_2\cdot r_2=(-1)\cdot(-1) + 1\cdot1 + 2\cdot2 = 1 + 1 + 4 = 6.
(EE^{T})_{23}=r_2\cdot r_3=(-1)\cdot4 + 1\cdot1 + 2\cdot3 = -4 + 1 + 6 = 3.
(EE^{T})_{31}=r_3\cdot r_1=4\cdot6 + 1\cdot1 + 3\cdot3 = 24 + 1 + 9 = 34.
(EE^{T})_{32}=r_3\cdot r_2=4\cdot(-1) + 1\cdot1 + 3\cdot2 = -4 + 1 + 6 = 3.
(EE^{T})_{33}=r_3\cdot r_3=4\cdot4 + 1\cdot1 + 3\cdot3 = 16 + 1 + 9 = 26.
Note que os cálculos confirmam a simetria: (EE^{T})_{12}=(EE^{T})_{21}=1, (EE^{T})_{13}=(EE^{T})_{31}=34, (EE^{T})_{23}=(EE^{T})_{32}=3, como esperado.

Passo 5

Montando a matriz resultado com os elementos calculados:
EE^{T}=\begin{pmatrix} 46 & 1 & 34\\[4pt] 1 & 6 & 3\\[4pt] 34 & 3 & 26 \end{pmatrix}]

Resposta

\begin{pmatrix} 46 & 1 & 34\\[4pt] 1 & 6 & 3\\[4pt] 34 & 3 & 26 \end{pmatrix}]

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