Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o gradiente de $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} $ é igual a $ -\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_0}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|^3} $. Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o operador gradiente. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o gradiente de funções envolvendo vetores e a magnitude de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar $ f(\mathbf{r}) $ em coordenadas cartesianas é dado por:
No nosso caso, a função $ f(\mathbf{r}) = \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} $. Vamos chamar $ \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 $, então $ f(\mathbf{R}) = \frac{1}{|\mathbf{R}|} $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f(\mathbf{R}) $ em relação a cada componente de $ \mathbf{R} $. Sabemos que:
onde $ R_i $ é a i-ésima componente de $ \mathbf{R} $ (ou seja, $ x - x_0 $, $ y - y_0 $, $ z - z_0 $).
Passo 4
Aplicando isso a todas as componentes, temos:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:
Resposta
Portanto, mostramos que: