Mostre que:
nabla cdot(u times v)=v cdot(nabla times u)-u cdot(nabla times v).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que vale a identidade de cálculo vetorial
nabla cdot (u times v) = v cdot (nabla times u) - u cdot (nabla times v),
que envolve divergência, rotacional e o produto vetorial. Vamos usar notação de índices e o símbolo de Levi-Civita para organizar a demonstração.

Passo 2

Lembramos das definições em notação indiceada:
(u times v)i = varepsilonijk ,uj,vk,
(nabla cdot A) = partiali Ai,
(nabla times u)i = varepsilonijk ,partialj uk
Aqui varepsilonijk é o símbolo de Levi-Civita e usamos a convenção de soma sobre índices repetidos.

Passo 3

Começamos pela divergência do produto vetorial escrevendo em componentes:
nabla cdot (u times v) = partiali (varepsilonijk ,uj,vk)
Aplicamos a regra do produto a derivada parcial que age sobre uj e vk:
partiali (varepsilonijk uj vk) = varepsilonijk vk ,partiali uj + varepsilonijk uj ,partiali vk

Passo 4

Agora vamos interpretar cada termo como produto escalar com rotacional. Para o primeiro termo note que:
varepsilonijk ,partiali uj = (nabla times u)k
se reescrevermos índices: trocando k por i e ajustando permutações, vemos que
varepsilonijk vk ,partiali uj = vi , (nabla times u)i = v cdot (nabla times u)

Passo 5

No segundo termo usamos a propriedade de antissimetria de varepsilonijk, isto é varepsilonijk = -varepsilonikj. Assim:
varepsilonijk uj ,partiali vk = -varepsilonikj uj ,partiali vk
Renomeando índices jrightarrow k no segundo membro, obtemos
-varepsilonkij uk ,partiali vj = -uk , (nabla times v)k = -u cdot (nabla times v)

Passo 6

Somando os dois resultados chegamos a
nabla cdot (u times v) = v cdot (nabla times u) - u cdot (nabla times v),
como queríamos demonstrar.

Resposta

nabla cdot (u times v) = v cdot (nabla times u) - u cdot (nabla times v).

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