Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que vale a identidade de cálculo vetorial
que envolve divergência, rotacional e o produto vetorial. Vamos usar notação de índices e o símbolo de Levi-Civita para organizar a demonstração.
Passo 2
Lembramos das definições em notação indiceada:
Aqui
é o símbolo de Levi-Civita e usamos a convenção de soma sobre índices repetidos.
Passo 3
Começamos pela divergência do produto vetorial escrevendo em componentes:
Aplicamos a regra do produto a derivada parcial que age sobre
e
:
Passo 4
Agora vamos interpretar cada termo como produto escalar com rotacional. Para o primeiro termo note que:
se reescrevermos índices: trocando
por
e ajustando permutações, vemos que
Passo 5
No segundo termo usamos a propriedade de antissimetria de
, isto é
. Assim:
Renomeando índices
no segundo membro, obtemos
Passo 6
Somando os dois resultados chegamos a
como queríamos demonstrar.