Para cada função abaixo determine
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem a função $ f(x) = x + x^{2} $ e precisamos determinar três coisas: $ f(2+h) $, $ f(x+h) $ e $ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $. Esse exercício tá dentro da matéria de Funções e Limites, especificamente sobre substituição de valores na função e a diferença de funções. Vamos precisar lembrar como substituir valores em funções e como simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ f(2+h) $. Isso significa que a gente vai substituir $ x $ por $ 2+h $ na função $ f(x) $.
A função é:
Substituindo $ x $ por $ 2+h $:
Passo 3
Agora, vamos simplificar $ (2+h)^{2} $. Lembremos que $ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $.
Aplicando isso:
Então, substituindo de volta na expressão de $ f(2+h) $:
Passo 4
Vamos agora somar todos os termos:
Passo 5
Vamos lá, agora vamos calcular $ f(x+h) $. Igual como fizemos antes, substituímos $ x $ por $ x+h $ na função:
Passo 6
Simplificando $ (x+h)^{2} $:
Então,
Passo 7
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, precisamos calcular $ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $. Primeiro, vamos encontrar $ f(x+h) - f(x) $.
Sabemos que:
Então,
Passo 9
Vamos subtrair termo a termo:
Passo 10
Agora, dividimos tudo por $ h $:
Passo 11
Podemos fatorar $ h $ no numerador:
Passo 12
Cancelando o $ h $ no numerador e denominador: