Para cada função abaixo determine f(2+h), f(x+h) e f(x+h)-f(x)h.
f(x)=x+x^2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem a função $ f(x) = x + x^{2} $ e precisamos determinar três coisas: $ f(2+h) $, $ f(x+h) $ e $ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $. Esse exercício tá dentro da matéria de Funções e Limites, especificamente sobre substituição de valores na função e a diferença de funções. Vamos precisar lembrar como substituir valores em funções e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ f(2+h) $. Isso significa que a gente vai substituir $ x $ por $ 2+h $ na função $ f(x) $.
A função é:
f(2+h)
Substituindo $ x $ por $ 2+h $:
x

Passo 3

Agora, vamos simplificar $ (2+h)^{2} $. Lembremos que $ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $.
Aplicando isso:
(2+h)^2
Então, substituindo de volta na expressão de $ f(2+h) $:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Passo 4

Vamos agora somar todos os termos:
f(2+h) = 2 + h + 4 + 4h + h^2
f(2+h) = (2 + 4) + (h + 4h) + h^2
f(2+h) = 6 + 5h + h^2

Passo 5

Vamos lá, agora vamos calcular $ f(x+h) $. Igual como fizemos antes, substituímos $ x $ por $ x+h $ na função:
f(x+h)

Passo 6

Simplificando $ (x+h)^{2} $:
(x+h)^2
Então,
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Passo 7

Vamos juntar os termos semelhantes:
f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + x + h

Passo 8

Agora, precisamos calcular $ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $. Primeiro, vamos encontrar $ f(x+h) - f(x) $.
Sabemos que:
f(x+h) - f(x)h
Então,
f(x+h) - f(x)

Passo 9

Vamos subtrair termo a termo:
f(x+h) - f(x) = x^2 + 2xh + h^2 + x + h - x - x^2
f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 + h

Passo 10

Agora, dividimos tudo por $ h $:
h

Passo 11

Podemos fatorar $ h $ no numerador:
h

Passo 12

Cancelando o $ h $ no numerador e denominador:
h

Resposta

f(x+h) - f(x)h = 2x + h + 1

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