Resolva a equação diferencial:
y^prime prime+y=cos (x), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO y'' + y = cos(x) com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0. É uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (i) achar a solução homogênea via equação característica e (ii) usar método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Solução homogênea: consideramos a equação y'' + y = 0. A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja raízes são r = pm i. Logo, a solução geral da homogênea é
yh = C1cos(x) + C2sin(x)

Passo 3

Solução particular: como a força cos(x) é solução da homogênea, temos ressonância. Fazemos o palpite
yp = A xcos(x) + B xsin(x)

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp' = Acos(x) - A xsin(x) + Bsin(x) + B xcos(x),
yp'' = -2Asin(x) - A xcos(x) + 2Bcos(x) - B xsin(x)
Somando yp'' + yp cancela os termos em x e resta
yp'' + yp = -2Asin(x) + 2Bcos(x)
Igualando a cos(x) temos -2A=0 e 2B=1, resultando em A=0, B=tfrac12.

Passo 5

Logo,
yp = xsin(x)2

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma das partes:
y(x) = yh + yp = C1cos(x) + C2sin(x) + xsin(x)2

Passo 7

Aplicando as condições iniciais:
  • Em x=0: y(0)=C1 + 0 + 0 = 1 então C1=1.
  • Derivando:
y'(x) = -C1sin(x) + C2cos(x) + sin(x)2 + xcos(x)2
Em x=0: y'(0)=0 + C2 + 0 = 0 então C2=0.
Portanto,
y(x) = cos(x) + xsin(x)2

Resposta

y(x) = \cos(x) + \frac{x\sin(x)}{2}

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