Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO
com condições iniciais
,
. É uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (i) achar a solução homogênea via equação característica e (ii) usar método dos coeficientes a determinar para a parte particular.
Passo 2
Solução homogênea: consideramos a equação
. A equação característica é
cuja raízes são
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Solução particular: como a força
é solução da homogênea, temos ressonância. Fazemos o palpite
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Somando
cancela os termos em
e resta
Igualando a
temos
e
, resultando em
,
.
Passo 5
Logo,
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma das partes:
Passo 7
Aplicando as condições iniciais:
- Em
: então . - Derivando:
Em
:
então
.
Portanto,
Portanto,
Resposta
y(x) = \cos(x) + \frac{x\sin(x)}{2}