Resolva a seguinte EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa EDO juntos! A equação que temos é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos trabalhar com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de ordem três. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como
, resolvemos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são
,
, e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Aqui,
,
, e
são constantes que vamos determinar mais adiante usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para
e
:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
Passo 6
Com
e
, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
,
, e
.
Primeiro, avalie
:
Passo 9
Agora, derivando a solução geral para encontrar
:
Aplicando
:
Passo 10
Derivando novamente para encontrar
:
Aplicando
:
Passo 11
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver as Equações 2 e 3 para encontrar
e
.
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
Substituindo
na Equação 2:
Agora, substituindo
e
na Equação 1:
Passo 12
Agora que temos todas as constantes:
Substituindo na solução geral:
Resposta
A solução da EDO dada é: