Resolva a seguinte EDO:
y^prime prime prime-4 y^prime prime+3 y^prime=cos (x), y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa EDO juntos! A equação que temos é:
y''' - 4y'' + 3y' = cos(x)
Além disso, temos as condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 1
Vamos trabalhar com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de ordem três. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y''' - 4y'' + 3y' = 0
Para isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx. Derivando, temos:
y' = re^rx, y'' = r^2 e^rx, y''' = r^3 e^rx
Substituindo na equação homogênea:
r^3 e^rx - 4r^2 e^rx + 3r e^rx = 0 e^rx (r^3 - 4r^2 + 3r) = 0
Como e^rx neq 0, resolvemos:
r^3 - 4r^2 + 3r = 0 r(r^2 - 4r + 3) = 0 r = 0 ou r^2 - 4r + 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 r = 3 ou r = 1
Então, as raízes são r = 0, r = 1, e r = 3.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
yh(x) = C1 e^0x + C2 e^1x + C3 e^3x yh(x) = C1 + C2 e^x + C3 e^3x
Aqui, C1, C2, e C3 são constantes que vamos determinar mais adiante usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y''' - 4y'' + 3y' = cos(x)
Como o lado direito é cos(x), tentamos uma solução particular da forma:
yp(x) = A cos(x) + B sin(x)
Derivando:
yp' = -A sin(x) + B cos(x) yp'' = -A cos(x) - B sin(x) yp''' = A sin(x) - B cos(x)
Substituindo na equação original:
(A sin(x) - B cos(x)) - 4(-A cos(x) - B sin(x)) + 3(-A sin(x) + B cos(x)) = cos(x)
Simplificando:
A sin(x) - B cos(x) + 4A cos(x) + 4B sin(x) - 3A sin(x) + 3B cos(x) = cos(x) (A - 3A + 4B) sin(x) + (-B + 4A + 3B) cos(x) = cos(x) (-2A + 4B) sin(x) + (4A + 2B) cos(x) = cos(x)
Para que a igualdade seja válida para todo x, os coeficientes devem ser iguais:
-2A + 4B = 0 4A + 2B = 1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para A e B:
  1. -2A + 4B = 0
  2. 4A + 2B = 1
Da primeira equação:
-2A + 4B = 0 Rightarrow -A + 2B = 0 Rightarrow A = 2B
Substituindo A = 2B na segunda equação:
4(2B) + 2B = 1 8B + 2B = 1 10B = 1 B = 110
Então,
A = 2B = 2 times 110 = 15

Passo 6

Com A = 15 e B = 110, a solução particular é:
yp(x) = 15 cos(x) + 110 sin(x)

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) y(x) = C1 + C2 e^x + C3 e^3x + 15 cos(x) + 110 sin(x)

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1, C2, e C3.
Primeiro, avalie y(0) = 0:
y(0) = C1 + C2 e^0 + C3 e^0 + 15 cos(0) + 110 sin(0) = 0 C1 + C2 + C3 + 15 = 0 C1 + C2 + C3 = -15 (Equação 1) çã

Passo 9

Agora, derivando a solução geral para encontrar y'(x):
y'(x) = C2 e^x + 3C3 e^3x - 15 sin(x) + 110 cos(x)
Aplicando y'(0) = 0:
y'(0) = C2 e^0 + 3C3 e^0 - 15 sin(0) + 110 cos(0) = 0 C2 + 3C3 + 110 = 0 C2 + 3C3 = -110 (Equação 2) çã

Passo 10

Derivando novamente para encontrar y''(x):
y''(x) = C2 e^x + 9C3 e^3x - 15 cos(x) - 110 sin(x)
Aplicando y''(0) = 1:
y''(0) = C2 e^0 + 9C3 e^0 - 15 cos(0) - 110 sin(0) = 1 C2 + 9C3 - 15 = 1 C2 + 9C3 = 1 + 15 = 65 (Equação 3) çã

Passo 11

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
  1. C1 + C2 + C3 = -15
  2. C2 + 3C3 = -110
  3. C2 + 9C3 = 65
Vamos resolver as Equações 2 e 3 para encontrar C2 e C3.
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
(C2 + 9C3) - (C2 + 3C3) = 65 - (-110) 6C3 = 65 + 110 = 1210 + 110 = 1310 C3 = 1360
Substituindo C3 = 1360 na Equação 2:
C2 + 3 times 1360 = -110 C2 + 3960 = -660 C2 = -660 - 3960 = -4560 = -34
Agora, substituindo C2 = -34 e C3 = 1360 na Equação 1:
C1 - 34 + 1360 = -15 C1 = -15 + 34 - 1360 C1 = -1260 + 4560 - 1360 = 2060 = 13

Passo 12

Agora que temos todas as constantes:
C1 = 13, C2 = -34, C3 = 1360
Substituindo na solução geral:
y(x) = 13 + (-34) e^x + 1360 e^3x + 15 cos(x) + 110 sin(x)

Resposta

A solução da EDO dada é:
y(x) = 13 - 34 e^x + 1360 e^3x + 15 cos(x) + 110 sin(x)

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