Mostre que:
\nabla \times(\nabla \varphi)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função escalar \varphi, o rotacional do gradiente de \varphi é o vetor nulo, ou seja:
\nabla \times (\nabla \varphi) = \mathbf{0}.
Informações/restrições implícitas que vamos usar:
\varphi é suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável com derivadas parciais contínuas, ou seja, \varphi\in C^2), para que possamos trocar a ordem das derivadas parciais (teorema de Clairaut).
Nada mais é dado; a demonstração será feita em coordenadas cartesianas e também eu mostro uma forma alternativa com notação índice.

Passo 2

Definição do gradiente (explicando cada peça). Para uma função escalar \varphi(x,y,z), o gradiente \nabla\varphi é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais primeiras de \varphi:
\nabla\varphi = \Big(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\Big).
Aqui \frac{\partial \varphi}{\partial x} significa: pegue \varphi e derive em relação a x, tratando y e z como constantes. O mesmo para as outras componentes.

Passo 3

Definição do rotacional (curl) para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas. O rotacional é o vetor dado por:
\nabla\times\mathbf{F} = \Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big).
Cada componente do rotacional é uma diferença entre derivadas parciais cruzadas das componentes de \mathbf{F}.

Passo 4

Aplicamos o rotacional ao gradiente: tome \mathbf{F}=\nabla\varphi. Então as componentes de \mathbf{F} são
F_x = \frac{\partial \varphi}{\partial x},\quad F_y = \frac{\partial \varphi}{\partial y},\quad F_z = \frac{\partial \varphi}{\partial z}.

Passo 5

Calculamos a primeira componente de \nabla\times(\nabla\varphi). Pela fórmula do rotacional:
(\nabla\times(\nabla\varphi))_x = \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\Big) - \frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\Big).
Reescrevendo:
(\nabla\times(\nabla\varphi))_x = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z\,\partial y}.
Pelo teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais mistas) — que exige \varphi\in C^2 — temos
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\,\partial z} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z\,\partial y},
logo a diferença é zero:
(\nabla\times(\nabla\varphi))_x = 0.

Passo 6

Fazemos o mesmo para a segunda componente:
(\nabla\times(\nabla\varphi))_y = \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\Big) - \frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\Big) = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\,\partial z}.
Novamente, por Clairaut,
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z\,\partial x} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\,\partial z},
portanto
(\nabla\times(\nabla\varphi))_y = 0.

Passo 7

Terceira componente:
(\nabla\times(\nabla\varphi))_z = \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\Big) - \frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\Big) = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\,\partial x}.
Pelo mesmo motivo,
(\nabla\times(\nabla\varphi))_z = 0.

Passo 8

Como todas as três componentes são zero, concluímos que o rotacional do gradiente é o vetor nulo:
\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf{0}.

Passo 9

Comentário útil para prova (forma alternativa e curta usando notação índice). Usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e derivadas \partial_j=\frac{\partial}{\partial x_j}, escrevemos
(\nabla\times(\nabla\varphi))_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k\varphi.
A derivada mista \partial_j\partial_k\varphi é simétrica em j,k (isto é, troca j\leftrightarrow k não altera), enquanto \varepsilon_{ijk} é antissimétrica em j,k. A contração de uma parte simétrica com uma antissimétrica é zero, portanto cada componente vale zero e o resultado é \mathbf{0}. Esta é uma maneira elegante e rápida de lembrar o porquê do resultado.

Passo 10

Exemplo concreto para conferir (checar na prática). Tome \varphi(x,y,z)=xyz. Então
\nabla\varphi = (yz,\;xz,\;xy).
O rotacional é
\nabla\times(\nabla\varphi)=\Big(\frac{\partial}{\partial y}(xy)-\frac{\partial}{\partial z}(xz),\;\frac{\partial}{\partial z}(yz)-\frac{\partial}{\partial x}(xy),\;\frac{\partial}{\partial x}(xz)-\frac{\partial}{\partial y}(yz)\Big).
Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x,\quad \frac{\partial}{\partial z}(xz)=x,\quad \frac{\partial}{\partial z}(yz)=y,\quad \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y,\quad \frac{\partial}{\partial x}(xz)=z,\quad \frac{\partial}{\partial y}(yz)=z.
Substituindo, cada componente é x-x=0, y-y=0, z-z=0. Então de fato \nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf{0}. Isso confirma o resultado num caso concreto.

Resposta

\mathbf{0}

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