Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função escalar
, o rotacional do gradiente de
é o vetor nulo, ou seja:
Informações/restrições implícitas que vamos usar:
é suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável com derivadas parciais contínuas, ou seja,
), para que possamos trocar a ordem das derivadas parciais (teorema de Clairaut).
Nada mais é dado; a demonstração será feita em coordenadas cartesianas e também eu mostro uma forma alternativa com notação índice.
Nada mais é dado; a demonstração será feita em coordenadas cartesianas e também eu mostro uma forma alternativa com notação índice.
Passo 2
Definição do gradiente (explicando cada peça). Para uma função escalar
, o gradiente
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais primeiras de
:
Aqui
significa: pegue
e derive em relação a
, tratando
e
como constantes. O mesmo para as outras componentes.
Passo 3
Definição do rotacional (curl) para um campo vetorial
em coordenadas cartesianas. O rotacional é o vetor dado por:
Cada componente do rotacional é uma diferença entre derivadas parciais cruzadas das componentes de
.
Passo 4
Aplicamos o rotacional ao gradiente: tome
. Então as componentes de
são
Passo 5
Calculamos a primeira componente de
. Pela fórmula do rotacional:
Reescrevendo:
Pelo teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais mistas) — que exige
— temos
logo a diferença é zero:
Passo 6
Fazemos o mesmo para a segunda componente:
Novamente, por Clairaut,
portanto
Passo 7
Terceira componente:
Pelo mesmo motivo,
Passo 8
Como todas as três componentes são zero, concluímos que o rotacional do gradiente é o vetor nulo:
Passo 9
Comentário útil para prova (forma alternativa e curta usando notação índice). Usando o símbolo de Levi-Civita
e derivadas
, escrevemos
A derivada mista
é simétrica em
(isto é, troca
não altera), enquanto
é antissimétrica em
. A contração de uma parte simétrica com uma antissimétrica é zero, portanto cada componente vale zero e o resultado é
. Esta é uma maneira elegante e rápida de lembrar o porquê do resultado.
Passo 10
Exemplo concreto para conferir (checar na prática). Tome
. Então
O rotacional é
Calculando cada termo:
Substituindo, cada componente é
,
,
. Então de fato
. Isso confirma o resultado num caso concreto.