Mostre que para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo com velocidade angular
, onde as partículas têm velocidades dadas por
, tem-se
Lembre que
é função apenas de
.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que para um corpo rígido em rotação com velocidade angular
(que depende apenas de
, não de
) e velocidades das partículas dadas por
, vale
Informações dadas e enunciado:
(portanto constantes em relação às derivadas parciais espaciais),
é o vetor posição e
. A tarefa é calcular o rotacional (curl) de
e mostrar que resulta em
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar: o operador nabla é
, onde
denota
, etc. O rotacional de um campo vetorial
é dado componente a componente por
Vou aplicar essa fórmula diretamente, porque é um método elementar ez fácil de seguir na prova (não exige memorização de identidades vetoriais).
Passo 3
Escrever as componentes de
. Seja
(cada
pode depender só de
) e
. O produto vetorial dá
Ou seja,
Observação importante: como cada
depende apenas de
, ao derivar em relação a
essas componentes
podem ser tratadas como constantes.
Passo 4
Calcular a primeira componente de
:
Agora calcule as derivadas parciais usando as expressões de
e
:
porque
é constante espacialmente e
, enquanto
.
porque
e
.
Subtraindo,
Subtraindo,
Passo 5
Calcular a segunda componente de
:
Calcule as derivadas:
Logo
Passo 6
Calcular a terceira componente de
:
Derivadas:
Portanto
Passo 7
Juntando as três componentes obtemos
Comentário intuitivo rápido: isso mostra que o vorticidade do campo de velocidade de um corpo em rotação rígida é exatamente duas vezes o vetor angular
. (Se
não dependesse só de
— isto é, se tivesse dependência espacial — esse cálculo seria diferente porque as derivadas espaciais de
apareceriam.)
Passo 8
Observação alternativa (curta): existe uma identidade vetorial que encurta isso: se
é constante espacialmente, então
. Aqui aplicamos essa identidade com
. Escolhi o cálculo por componentes porque é mais direto e facilmente verificável em prova.