Mostre que para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo com velocidade angular \vec{\omega}, onde as partículas têm velocidades dadas por \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}, tem-se \nabla \times \vec{v}=2 \vec{\omega} Lembre que \vec{\omega} é função apenas de t.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que para um corpo rígido em rotação com velocidade angular \vec{\omega} (que depende apenas de t, não de x,y,z) e velocidades das partículas dadas por \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}, vale
\nabla\times\vec{v}=2\vec{\omega}.
Informações dadas e enunciado: \vec{\omega}=\vec{\omega}(t) (portanto constantes em relação às derivadas parciais espaciais), \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição e \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}. A tarefa é calcular o rotacional (curl) de \vec{v} e mostrar que resulta em 2\vec{\omega}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar: o operador nabla é \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z), onde \partial_x denota \partial/\partial x, etc. O rotacional de um campo vetorial \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é dado componente a componente por
\nabla\times\vec{v}=\big(\partial_y v_z-\partial_z v_y,\;\partial_z v_x-\partial_x v_z,\;\partial_x v_y-\partial_y v_x\big).
Vou aplicar essa fórmula diretamente, porque é um método elementar ez fácil de seguir na prova (não exige memorização de identidades vetoriais).

Passo 3

Escrever as componentes de \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}. Seja \vec{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z) (cada \omega_i pode depender só de t) e \vec{r}=(x,y,z). O produto vetorial dá
\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=(\omega_y z-\omega_z y,\;\omega_z x-\omega_x z,\;\omega_x y-\omega_y x).
Ou seja,
v_x=\omega_y z-\omega_z y,\qquad v_y=\omega_z x-\omega_x z,\qquad v_z=\omega_x y-\omega_y x.
Observação importante: como cada \omega_i depende apenas de t, ao derivar em relação a x,y,z essas componentes \omega_i podem ser tratadas como constantes.

Passo 4

Calcular a primeira componente de \nabla\times\vec{v}:
(\nabla\times\vec{v})_x=\partial_y v_z-\partial_z v_y.
Agora calcule as derivadas parciais usando as expressões de v_z e v_y:
\partial_y v_z=\partial_y(\omega_x y-\omega_y x)=\omega_x,
porque \omega_x é constante espacialmente e \partial_y y=1, enquanto \partial_y(\omega_y x)=0.
\partial_z v_y=\partial_z(\omega_z x-\omega_x z)=-\omega_x,
porque \partial_z(\omega_z x)=0 e \partial_z(-\omega_x z)=-\omega_x.
Subtraindo,
(\nabla\times\vec{v})_x=\omega_x-(-\omega_x)=2\omega_x.

Passo 5

Calcular a segunda componente de \nabla\times\vec{v}:
(\nabla\times\vec{v})_y=\partial_z v_x-\partial_x v_z.
Calcule as derivadas:
\partial_z v_x=\partial_z(\omega_y z-\omega_z y)=\omega_y,
\partial_x v_z=\partial_x(\omega_x y-\omega_y x)=-\omega_y.
Logo
(\nabla\times\vec{v})_y=\omega_y-(-\omega_y)=2\omega_y.

Passo 6

Calcular a terceira componente de \nabla\times\vec{v}:
(\nabla\times\vec{v})_z=\partial_x v_y-\partial_y v_x.
Derivadas:
\partial_x v_y=\partial_x(\omega_z x-\omega_x z)=\omega_z,
\partial_y v_x=\partial_y(\omega_y z-\omega_z y)=-\omega_z.
Portanto
(\nabla\times\vec{v})_z=\omega_z-(-\omega_z)=2\omega_z.

Passo 7

Juntando as três componentes obtemos
\nabla\times\vec{v}=(2\omega_x,\,2\omega_y,\,2\omega_z)=2(\omega_x,\omega_y,\omega_z)=2\vec{\omega}.
Comentário intuitivo rápido: isso mostra que o vorticidade do campo de velocidade de um corpo em rotação rígida é exatamente duas vezes o vetor angular \vec{\omega}. (Se \vec{\omega} não dependesse só de t — isto é, se tivesse dependência espacial — esse cálculo seria diferente porque as derivadas espaciais de \omega_i apareceriam.)

Passo 8

Observação alternativa (curta): existe uma identidade vetorial que encurta isso: se \vec{a} é constante espacialmente, então \nabla\times(\vec{a}\times\vec{r})=2\vec{a}. Aqui aplicamos essa identidade com \vec{a}=\vec{\omega}. Escolhi o cálculo por componentes porque é mais direto e facilmente verificável em prova.

Resposta

\nabla\times\vec{v}=2\vec{\omega}

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