(1 point) Calcule o volume do sólido limitado por z=x^{3} y^{2} e pelos planos x=0, x=3, y=0 e y=1.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície z=x^{3}y^{2} e pelos planos x=0, x=3, y=0 e y=1.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
A função que define a superfície é z=x^{3}y^{2}.
As fronteiras no plano xy são x entre 0 e 3 e y entre 0 e 1.
Pedido: calcular o volume do sólido limitado por essa superfície e por essas retas/planos.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região plana R é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui a região R é o retângulo com 0\le x\le 3 e 0\le y\le 1. Como a função f(x,y)=x^{3}y^{2} é contínua nesse retângulo, podemos usar integrais iteradas (teorema de Fubini) e integrar em uma ordem conveniente.
Passo 3
Montagem da integral iterada: escolhemos integrar primeiro em y (poderíamos trocar a ordem, tanto faz). A integral fica
Explicação passo a passo do que isso significa: para cada x fixo, somamos (integrando) as alturas z=x^{3}y^{2} ao longo de y de 0 a 1, obtendo uma “área” em função de x; depois integramos essa área ao longo de x de 0 a 3 para obter o volume total.
Passo 4
Cálculo da integral interna em y. Observe que x^{3} é constante quando integramos em y, então podemos tirar x^{3} para fora da integral interna:
Relembrando como integrar y^{2}: a antiderivada de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1}. Aqui n=2, então a antiderivada é \dfrac{y^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 1 temos
V = \frac{1}{3}\cdot\frac{81}{4} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para consolidar a ideia): como a função é separável x^{3}y^{2}=(x^{3})(y^{2}), poderíamos integrar na ordem contrária e obter