(1 point) Calcule o volume do sólido limitado por z=x^{3} y^{2} e pelos planos x=0, x=3, y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície z=x^{3}y^{2} e pelos planos x=0, x=3, y=0 e y=1.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  1. A função que define a superfície é z=x^{3}y^{2}.
  2. As fronteiras no plano xy são x entre 0 e 3 e y entre 0 e 1.
  3. Pedido: calcular o volume do sólido limitado por essa superfície e por essas retas/planos.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região plana R é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui a região R é o retângulo com 0\le x\le 3 e 0\le y\le 1. Como a função f(x,y)=x^{3}y^{2} é contínua nesse retângulo, podemos usar integrais iteradas (teorema de Fubini) e integrar em uma ordem conveniente.

Passo 3

Montagem da integral iterada: escolhemos integrar primeiro em y (poderíamos trocar a ordem, tanto faz). A integral fica
V=\int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{1} x^{3}y^{2}\,dy\,dx.
Explicação passo a passo do que isso significa: para cada x fixo, somamos (integrando) as alturas z=x^{3}y^{2} ao longo de y de 0 a 1, obtendo uma “área” em função de x; depois integramos essa área ao longo de x de 0 a 3 para obter o volume total.

Passo 4

Cálculo da integral interna em y. Observe que x^{3} é constante quando integramos em y, então podemos tirar x^{3} para fora da integral interna:
\int_{y=0}^{1} x^{3}y^{2}\,dy = x^{3}\int_{y=0}^{1} y^{2}\,dy.
Relembrando como integrar y^{2}: a antiderivada de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1}. Aqui n=2, então a antiderivada é \dfrac{y^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 1 temos
\int_{y=0}^{1} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.
Portanto a integral interna vale
\int_{y=0}^{1} x^{3}y^{2}\,dy = x^{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Agora calculamos a integral externa em x. Substituindo o resultado do passo anterior:
V=\int_{x=0}^{3} \frac{x^{3}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{x=0}^{3} x^{3}\,dx.
Novamente usamos a regra da antiderivada: a antiderivada de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}. Assim
\int_{x=0}^{3} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4}-0 = \frac{81}{4}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} obtemos
V = \frac{1}{3}\cdot\frac{81}{4} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para consolidar a ideia): como a função é separável x^{3}y^{2}=(x^{3})(y^{2}), poderíamos integrar na ordem contrária e obter
V=\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{3} x^{3}y^{2}\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1} y^{2}\left(\int_{x=0}^{3} x^{3}\,dx\right)dy = \left(\int_{x=0}^{3} x^{3}\,dx\right)\left(\int_{y=0}^{1} y^{2}\,dy\right) = \frac{81}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{27}{4},
mesmo resultado — bom sinal.

Resposta

\dfrac{27}{4}

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