Calcule o volume do conjunto dado.
\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, x{2}+y{2} \leq z \leq 2\right}

Passo 1

O problema pede que eu calcule o volume do conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1,\; x^{2}+y^{2}\le z\le 2\}.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad x\in[0,1],\\\ &\text{(ii)}\quad y\in[0,1],\\\ &\text{(iii)}\quad z\text{ está entre }z_{\min}=x^{2}+y^{2}\text{ e }z_{\max}=2. \end{aligned}á
Observação importante (retirada dos dados acima): para todo (x,y) no quadrado [0,1]\times[0,1] vale \,x^{2}+y^{2}\le 2 (o máximo é 1+1=2), então a desigualdade x^{2}+y^{2}\le 2 não elimina pontos do quadrado — para cada (x,y) do quadrado, z varia de x^{2}+y^{2} até 2.

Passo 2

Estratégia: calcular o volume por integração. A ideia é usar a fórmula do volume como integral tripla:
\text{Volume}=\iiint_{E} dV.
Quando a região é descrita com z entre duas funções de (x,y), é prático integrar z primeiro: para cada (x,y) no domínio D do plano xy (aqui D=[0,1]\times[0,1]), o comprimento na direção z é \,z_{\max}-z_{\min}. Portanto podemos reduzir a integral tripla a uma integral dupla:
\text{Volume}=\iint_{D}\Big(\int_{z_{\min}}^{z_{\max}} dz\Big)\,dA.
Vou aplicar exatamente isso com z_{\min}=x^{2}+y^{2}, z_{\max}=2 e D=[0,1]\times[0,1].

Passo 3

Calculo da integral interna em z:
\int_{x^{2}+y^{2}}^{2} dz = \big[z\big]_{z=x^{2}+y^{2}}^{z=2} = 2-(x^{2}+y^{2}).
Interpretação: para cada ponto (x,y) do quadrado, a “altura” disponível na direção z é 2-(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Agora o volume vira a integral dupla sobre o quadrado:
\text{Volume}=\iint_{[0,1]\times[0,1]} \big(2 - x^{2} - y^{2}\big)\,dA.
Vou escrever explicitamente como integral iterada (podemos usar Fubini porque a função é contínua no quadrado):
\text{Volume}=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} \big(2 - x^{2} - y^{2}\big)\,dx\,dy.

Passo 5

Integro primeiro em x. Para y fixo,
\int_{0}^{1} \big(2 - x^{2} - y^{2}\big)\,dx = \int_{0}^{1} 2\,dx - \int_{0}^{1} x^{2}\,dx - \int_{0}^{1} y^{2}\,dx.
Calculo cada parcela:
\int_{0}^{1} 2\,dx = 2\cdot 1 = 2,
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1} y^{2}\,dx = y^{2}\int_{0}^{1} dx = y^{2}\cdot 1 = y^{2}.
Somando,
\int_{0}^{1} \big(2 - x^{2} - y^{2}\big)\,dx = 2 - \frac{1}{3} - y^{2} = \frac{5}{3} - y^{2}.

Passo 6

Agora integro o resultado em y de 0 a 1:
\text{Volume}=\int_{0}^{1} \left(\frac{5}{3} - y^{2}\right) dy = \frac{5}{3}\int_{0}^{1} dy - \int_{0}^{1} y^{2}\,dy.
Calculos:
\frac{5}{3}\int_{0}^{1} dy = \frac{5}{3}\cdot 1 = \frac{5}{3},
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Subtraindo,
\text{Volume}=\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 7

Comentário final rápido (dica de prova): é útil notar que, por causa do domínio simples no plano xy (o quadrado unitário), a integração separa bem as variáveis e evita coordenadas polares. Em problemas parecidos, sempre verifique primeiro se a condição sobre z é compatível com todo o domínio em xy; aqui ela era, então não precisávamos restringir D.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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