Calcule o volume do conjunto dado.
\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, x{2}+y{2} \leq z \leq 2\right}
\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, x{2}+y{2} \leq z \leq 2\right}
Passo 1
O problema pede que eu calcule o volume do conjunto
Informações dadas:
Observação importante (retirada dos dados acima): para todo
no quadrado
vale
(o máximo é
), então a desigualdade
não elimina pontos do quadrado — para cada
do quadrado,
varia de
até
.
Passo 2
Estratégia: calcular o volume por integração. A ideia é usar a fórmula do volume como integral tripla:
Quando a região é descrita com
entre duas funções de
, é prático integrar
primeiro: para cada
no domínio
do plano
(aqui
), o comprimento na direção
é
. Portanto podemos reduzir a integral tripla a uma integral dupla:
Vou aplicar exatamente isso com
,
e
.
Passo 3
Calculo da integral interna em
:
Interpretação: para cada ponto
do quadrado, a “altura” disponível na direção
é
.
Passo 4
Agora o volume vira a integral dupla sobre o quadrado:
Vou escrever explicitamente como integral iterada (podemos usar Fubini porque a função é contínua no quadrado):
Passo 5
Integro primeiro em
. Para
fixo,
Calculo cada parcela:
Somando,
Passo 6
Agora integro o resultado em
de
a
:
Calculos:
Subtraindo,
Passo 7
Comentário final rápido (dica de prova): é útil notar que, por causa do domínio simples no plano
(o quadrado unitário), a integração separa bem as variáveis e evita coordenadas polares. Em problemas parecidos, sempre verifique primeiro se a condição sobre
é compatível com todo o domínio em
; aqui ela era, então não precisávamos restringir
.