Mostre que y d x+(2 x y-e^-2 y) d y=0 não é exata e encontre um fator integrante.
45. Considere a equação:

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y,dx + l(2xy - e^-2yr),dy = 0
e pede para mostrar que ela não é exata e encontrar um fator integrante. O conteúdo é equações diferenciais exatas. Para isso vamos identificar
M(x,y)=y, N(x,y)=2xy - e^-2y,
calcular as derivadas parciais e testar exatidão; em seguida buscamos um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial y(y)=1, partial Npartial x = partialpartial xl(2xy - e^-2yr)=2y
Como
partial Mpartial y=1 neq 2y = partial Npartial x,
a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos primeiro um fator integrante mu(x). A condição é
tfracpartial Mpartial y-tfracpartial Npartial xN =1-2y2xy - e^-2y
Esse quociente depende de x e y, não apenas de x, logo não existe mu(x) satisfazendo essa condição.

Passo 4

Agora tentamos um fator integrante mu(y). A condição é
tfracpartial Npartial x-tfracpartial Mpartial yM =2y-1y =2 - 1y,
que depende só de y. Portanto
mu(y) =exp!l(integral l(2 - tfrac1yr),dyr) =exp!l(2y - ln yr) =e^2yy

Resposta

Um fator integrante é
mu(y)=e^2yy

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