Quantos elementos de ordem 7 existem em um grupo simples de ordem 168 ?
Passo 1
O enunciado pede o número de elementos de ordem
em um grupo simples de ordem
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Sylow, que dá restrições sobre quantos subgrupos de ordem potência de primo podem existir.
Passo 2
Pela terceira parte do Teorema de Sylow, o número de subgrupos de Sylow-7, que chamamos de
, satisfaz
e
Passo 3
Os divisores de
são
. Desses, apenas
e
atendem
. Se
, o Sylow-7 seria único e, portanto, normal, o que não pode ocorrer num grupo simples. Logo,
Passo 4
Cada subgrupo de ordem
é cíclico, então tem
elementos de ordem
(todos os seus elementos, exceto a identidade). Subgrupos distintos só se intersectam na identidade, de modo que o total de elementos de ordem
é