Quantos elementos de ordem 7 existem em um grupo simples de ordem 168 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de elementos de ordem 7 em um grupo simples de ordem 168. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Sylow, que dá restrições sobre quantos subgrupos de ordem potência de primo podem existir.

Passo 2

Pela terceira parte do Teorema de Sylow, o número de subgrupos de Sylow-7, que chamamos de n7, satisfaz
n7 mid 1687 = 24
e
n7 equiv 1 pmod7

Passo 3

Os divisores de 24 são 1,2,3,4,6,8,12,24. Desses, apenas 1 e 8 atendem n7equiv1pmod7. Se n7=1, o Sylow-7 seria único e, portanto, normal, o que não pode ocorrer num grupo simples. Logo,
n7 = 8

Passo 4

Cada subgrupo de ordem 7 é cíclico, então tem varphi(7)=6 elementos de ordem 7 (todos os seus elementos, exceto a identidade). Subgrupos distintos só se intersectam na identidade, de modo que o total de elementos de ordem 7 é
8 times 6 = 48

Resposta

48

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