Mostre que não vale a lei do cancelamento para produto de matrizes, ou seja,
A neq 0 e
A B=A C mas
B neq C .
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
e pede para mostrar que apesar de
Aneq0 temos
mas
O conteúdo principal é multiplicação de matrizes e a (falha da) lei do cancelamento em geral.
Passo 2
Verificamos que
Aneq0 simplesmente observando uma entrada não nula, por exemplo
logo
A não é a matriz zero.
Passo 3
Calculamos
A B por produto linha–coluna. Para cada linha
i de
A e coluna
j de
B temos
Fazendo conta para todas as entradas, obtemos
Passo 4
De modo análogo, calculamos
A C . Aplicando
para cada
i e
j , encontramos
Passo 5
Como as duas matrizes produto coincidem,
ficou demonstrado que
A B e
A C são iguais.
Passo 6
Para ver que
Bneq C , basta comparar qualquer entrada correspondente. Por exemplo,
portanto
Bneq C .
Resposta
Encontramos
,
e
. Logo a lei do cancelamento
falha para multiplicação de matrizes.