A=(ccc 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1 ), B=(cccc 1 & 4 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 2 ), C=(cccc 2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -1 2 & -5 & -1 & 0 )
Mostre que não vale a lei do cancelamento para produto de matrizes, ou seja, A neq 0 e A B=A C mas B neq C.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A= 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1 , B= 1 & 4 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 2 , C= 2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -1 2 & -5 & -1 & 0 ,
e pede para mostrar que apesar de Aneq0 temos
A,B = A,C
mas
Bneq C
O conteúdo principal é multiplicação de matrizes e a (falha da) lei do cancelamento em geral.

Passo 2

Verificamos que Aneq0 simplesmente observando uma entrada não nula, por exemplo
A11=1neq0,
logo A não é a matriz zero.

Passo 3

Calculamos A B por produto linha–coluna. Para cada linha i de A e coluna j de B temos
(AB)ij=sumk=1^3AikBkj
Fazendo conta para todas as entradas, obtemos
AB= -3 & -3 & 0 & 1 1 & 15 & 0 & -5 -3 & 15 & 0 & -5

Passo 4

De modo análogo, calculamos A C. Aplicando
(AC)ij=sumk=1^3AikCkj,
para cada i e j, encontramos
AC= -3 & -3 & 0 & 1 1 & 15 & 0 & -5 -3 & 15 & 0 & -5

Passo 5

Como as duas matrizes produto coincidem,
AB = AC,
ficou demonstrado que A B e A C são iguais.

Passo 6

Para ver que Bneq C, basta comparar qualquer entrada correspondente. Por exemplo,
B12=4enquanto C12=1,
portanto Bneq C.

Resposta

Encontramos , e . Logo a lei do cancelamento
falha para multiplicação de matrizes.

Exercícios relacionados