Mostre que não é verdade que o quadrado de qualquer número é da forma 5 k ou 5 k+1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que nem sempre o quadrado de um número inteiro é da forma ou . Isso envolve aritmética modular (resto da divisão por 5) e o Teorema da Divisão. Vamos usar a ideia de “qualquer inteiro dividido por 5 deixa resto 0, 1, 2, 3 ou 4” e depois ver quais quadrados possíveis aparecem.

Passo 2

Pega um número inteiro qualquer, chama de n = 5k + r, . Pelo Teorema da Divisão, você pode escrever
onde é outro inteiro e é o resto de dividir por 5.

Passo 3

Agora vamos ver o que rola com o quadrado:
n^2 = (5k + r)^2 = 25k^2 + 10kr + r^2 = 5l(5k^2 + 2krr) + r^2
Ou seja, n^2 equiv r^2 pmod5 é sempre múltiplo de 5 mais o resto . Em notação de módulo 5 isso diz

Passo 4

Basta então ver todos os possíveis mod 5:
Logo os quadrados só podem dar resto ou quando divididos por 5.

Passo 5

A afirmação original dizia que todo quadrado seria só “ 2^2 = 4 = 5cdot0 + 4, ” (resto 0) ou “ ” (resto 1). Mas acabamos de ver que também aparece resto 4, isto é, forma . Um exemplo bem simples é
que não é nem nem .

Resposta

Não é verdade que todo quadrado de inteiro seja da forma ou , pois existem casos (como ) em que o quadrado fica na forma .

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