Mostre que não é verdade que o quadrado de qualquer número é da forma 5 k ou
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que nem sempre o quadrado de um número inteiro é da forma
ou
. Isso envolve aritmética modular (resto da divisão por 5) e o Teorema da Divisão. Vamos usar a ideia de “qualquer inteiro dividido por 5 deixa resto 0, 1, 2, 3 ou 4” e depois ver quais quadrados possíveis aparecem.
Passo 2
Pega um número inteiro qualquer, chama de
. Pelo Teorema da Divisão, você pode escrever
onde
é outro inteiro e
é o resto de dividir
por 5.
Passo 3
Agora vamos ver o que rola com o quadrado:
Ou seja,
é sempre múltiplo de 5 mais o resto
. Em notação de módulo 5 isso diz
Passo 4
Basta então ver todos os
possíveis mod 5:
Logo os quadrados só podem dar resto
ou
quando divididos por 5.
Passo 5
A afirmação original dizia que todo quadrado seria só “
” (resto 0) ou “
” (resto 1). Mas acabamos de ver que também aparece resto 4, isto é, forma
. Um exemplo bem simples é
que não é nem
nem
.
Resposta
Não é verdade que todo quadrado de inteiro seja da forma
ou
, pois existem casos (como
) em que o quadrado fica na forma
.