Mostre que todo número inteiro ímpar é da forma 4 k+1 ou 4 k+3.

Passo 1

Beleza, a questão pede para mostrar que se você pega qualquer número inteiro ímpar, ele sempre cabe numa das duas “receitas” 4 k+1 ou 4 k+3, onde k é um inteiro. O conteúdo aqui é bem básico de teoria dos números: usar o algoritmo da divisão (resto) e a definição de número ímpar. Vamos precisar lembrar que todo inteiro dividido por um valor dá resto entre 0 e divisor–1, e também que “ímpar” significa que sobra 1 quando dividimos por 2.

Passo 2

Primeiro, escreve um inteiro ímpar de forma genérica.
Por definição, n é ímpar se, quando dividimos por 2, o resto é 1. Então
n = 2m + 1
para algum inteiro m. Aqui usei o fato “todo número é 2 vezes um inteiro mais resto 0 ou 1” e, como é ímpar, resto = 1.

Passo 3

Agora vamos olhar o tal m e dividi-lo por 2 de novo (porque queremos “chegar” a múltiplos de 4). Pelo algoritmo da divisão, existem inteiros k e resto r com
m = 2k + r, r in 0,1
Ou seja, ou m = 2k (resto 0) ou m = 2k+1 (resto 1).

Passo 4

Substituindo cada caso em n = 2(2k) + 1 = 4k + 1 :
  • Se m = 2k, então n = 2(2k+1) + 1 = 4k + 2 + 1 = 4k + 3
  • Se m = 2k + 1, então

Resposta

Concluímos que qualquer número inteiro ímpar é ou da forma ou da forma , com inteiro.

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