Mostre que todo número inteiro ímpar é da forma
ou
.
Passo 1
Beleza, a questão pede para mostrar que se você pega qualquer número inteiro ímpar, ele sempre cabe numa das duas “receitas” 4 k+1 ou 4 k+3, onde k é um inteiro. O conteúdo aqui é bem básico de teoria dos números: usar o algoritmo da divisão (resto) e a definição de número ímpar. Vamos precisar lembrar que todo inteiro dividido por um valor dá resto entre 0 e divisor–1, e também que “ímpar” significa que sobra 1 quando dividimos por 2.
Passo 2
Primeiro, escreve um inteiro ímpar de forma genérica.
Por definição, n é ímpar se, quando dividimos por 2, o resto é 1. Então
Por definição, n é ímpar se, quando dividimos por 2, o resto é 1. Então
para algum inteiro m. Aqui usei o fato “todo número é 2 vezes um inteiro mais resto 0 ou 1” e, como é ímpar, resto = 1.
Passo 3
Agora vamos olhar o tal m e dividi-lo por 2 de novo (porque queremos “chegar” a múltiplos de 4). Pelo algoritmo da divisão, existem inteiros k e resto r com
Ou seja, ou m = 2k (resto 0) ou m = 2k+1 (resto 1).
Passo 4
Substituindo cada caso em
:
- Se m = 2k, então
- Se m = 2k + 1, então
Resposta
Concluímos que qualquer número inteiro ímpar
é ou da forma
ou da forma
, com
inteiro.