Mostre que, se p for um número ímpar, então p^2-1 será divisível por 4.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que mostrar que, se for um número ímpar, então é divisível por 4.
Conteúdo envolvido: teoria de números (paridade e divisibilidade) e manipulação algébrica básica. Vamos usar a ideia de representar um ímpar como e depois mostrar que o resultado é múltiplo de 4.

Passo 2

Como p = 2k + 1, é ímpar, escrevemos
onde é um número inteiro. Essa é a forma padrão de representar ímpares: soma de um par ( ) com 1.

Passo 3

Agora calculamos
p^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4l(k^2 + kr) = 4l(k(k+1)r)
Repare que k(k+1) = 2m para algum inteiro m e p^2 - 1 = 4l(2mr) = 8m, são dois inteiros consecutivos, então um deles é sempre par. Logo, o produto é par. Assim
Substituindo de volta:
que é claramente múltiplo de 4 (na verdade de 8, mas basta observar que todo múltiplo de 8 é também múltiplo de 4).

Resposta

Portanto, se é ímpar, então pode ser escrito como vezes um número inteiro, o que prova que é divisível por 4.

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