Suponha que
seja um número natural. Prove que
é também um número natural, qualquer que seja o número natural
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
O problema diz que é um número natural e pede para mostrar que, para todo
, também
O problema diz que
é natural.
O que vamos usar: definição de sequência, relação de recorrência e princípio de indução, além de AM–GM para garantir positividade.
O que vamos usar: definição de sequência, relação de recorrência e princípio de indução, além de AM–GM para garantir positividade.
Passo 2
Positividade de
Como , em particular é
. Mas pela desigualdade AM–GM, para
vale
Como
Logo necessariamente
e
.
Passo 3
Definição da sequência e casos iniciais
Definimos
Definimos
Então
e por hipótese
é natural. Além disso
também é natural.
Passo 4
Relação de recorrência
Multiplicando por
obtemos
Multiplicando
Dessa forma, para todo
,
Passo 5
Prova por indução
Base: já vimos que e
.
Passo indutivo: suponha para algum que
e
sejam naturais. Como
é natural, o produto
é natural e portanto
Base: já vimos que
Passo indutivo: suponha para algum
é um inteiro. Para ver que é também positivo, note que cada
. Logo
.
Assim, por indução, vale para todo
.
Assim, por indução, vale
Resposta
Para todo
,