Suponha que x+\frac{1}{x} seja um número natural. Prove que x^{n}+\frac{1}{x^{n}} é também um número natural, qualquer que seja o número natural n.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O problema diz que \,x + \tfrac1x é um número natural e pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, também
x^n + \tfrac1{x^n}
é natural.
O que vamos usar: definição de sequência, relação de recorrência e princípio de indução, além de AM–GM para garantir positividade.

Passo 2

Positividade de x
Como \,x + \tfrac1x\in\mathbb{N}, em particular é \ge2. Mas pela desigualdade AM–GM, para x>0 vale
x + \tfrac1x \;\ge\; 2\sqrt{x\cdot\tfrac1x}\;=\;2.
Logo necessariamente x>0 e x + \tfrac1x\ge2.

Passo 3

Definição da sequência e casos iniciais
Definimos
a_n = x^n + x^{-n},\quad n=0,1,2,\dots
Então
a_0 = x^0 + x^0 = 2,
a_1 = x^1 + x^{-1} = x + \tfrac1x,
e por hipótese a_1 é natural. Além disso a_0=2 também é natural.

Passo 4

Relação de recorrência
Multiplicando a_1 por a_k obtemos
a_1\,a_k \;=\;\bigl(x+\tfrac1x\bigr)\bigl(x^k + x^{-k}\bigr) = x^{k+1} + x^{k-1} + x^{-k+1} + x^{-k-1} = a_{k+1}+a_{k-1}.
Dessa forma, para todo k\ge1,
\boxed{a_{k+1} = a_1\,a_k - a_{k-1}}.

Passo 5

Prova por indução
Base: já vimos que a_0=2\in\mathbb{N} e a_1=x+\tfrac1x\in\mathbb{N}.
Passo indutivo: suponha para algum k\ge1 que a_{k-1} e a_k sejam naturais. Como a_1 é natural, o produto a_1\,a_k é natural e portanto
a_{k+1} = a_1\,a_k - a_{k-1}
é um inteiro. Para ver que é também positivo, note que cada a_n = x^n + x^{-n}>0. Logo a_{k+1}\in\mathbb{N}.
Assim, por indução, vale a_n\in\mathbb{N} para todo n.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N},
x^n + \tfrac1{x^n}\in\mathbb{N}.

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