Mostre que o números racionais
com a sua ordem
definida acima possuem a propriedade da transitividade, ou seja se
e
com
e por sua vez
então
. Observação: a transitividade é uma das exigências para ser corpo ordenado.
Passo 1
O enunciado dá que
e que
e
. A tarefa é provar que então
(isto é, mostrar a transitividade da ordem em
).\n
Informações relevantes que vamos usar (definição do que significa ): qualquer número racional pode ser representado por uma fração
com
e
. Podemos escolher representantes com denominador positivo, isto é, escrever
com e
e
.\n
A ordem usual em é dada por: para frações com denominadores positivos,
Informações relevantes que vamos usar (definição do que significa
com
A ordem usual em
Não faço aqui ainda nenhuma manipulação: só listei o que temos e como a ordem é definida.
Passo 2
Escolhemos representantes com denominadores positivos. Explico por que isso é sempre possível: se uma fração tiver denominador negativo podemos multiplicar numerador e denominador por
para obter uma fração equivalente com denominador positivo. Assim existem inteiros
com
tais que
Lembre-se: denominadores são diferentes de zero por definição de racional.
Passo 3
Traduzimos as hipóteses
e
para desigualdades entre inteiros, usando a definição do passo 1. Assim:
Expliquei: em cada caso aplicamos a regra
porque escolhemos denominadores positivos.
Passo 4
Agora vamos combinar as duas desigualdades para chegar em algo envolvendo
. Primeiro, multiplico a desigualdade
por
. Como
, multiplicar por
preserva a desigualdade; obtemos
Justificativa: regra elementar de desigualdades — se
e
então
.
Passo 5
Em seguida, multiplico a desigualdade
por
. Como
, também aqui a desigualdade é preservada:
Passo 6
Juntando os resultados dos passos 4 e 5 temos a cadeia
Pela transitividade da desigualdade em inteiros (se
e
então
) obtemos
Passo 7
Agora dividimos a desigualdade
por
. Como
, a divisão por
preserva a desigualdade, então
Expliquei: dividir por número positivo é a mesma ideia de multiplicar por seu inverso positivo; a ordem não se inverte.
Passo 8
Volto à definição da ordem: a desigualdade
é exatamente a condição para
Portanto, usando as representações do passo 2, concluímos que
. Isso completa a prova da transitividade.
Passo 9
Um exemplo numérico para fixar a intuição: tome
,
,
. Temos
(isto é,
), então
. E
(isto é,
), então
. Seguindo o mesmo raciocínio acima obtemos
. Exemplo simples e consistente com a prova geral.