Mostre que o números racionais \mathbb{Q} com a sua ordem <Q definida acima possuem a propriedade da transitividade, ou seja se r, s e t \in \mathbb{Q} com r<\mathbb{Q} s e por sua vez s<\mathbb{Q} t então r<\mathbb{Q} t. Observação: a transitividade é uma das exigências para ser corpo ordenado.

Passo 1

O enunciado dá que r,s,t\in\mathbb{Q} e que r<_{\mathbb{Q}} s e s<_{\mathbb{Q}} t. A tarefa é provar que então r<_{\mathbb{Q}} t (isto é, mostrar a transitividade da ordem em \mathbb{Q}).\n
Informações relevantes que vamos usar (definição do que significa <_{\mathbb{Q}}): qualquer número racional pode ser representado por uma fração \dfrac{a}{b} com a,b\in\mathbb{Z} e b\neq 0. Podemos escolher representantes com denominador positivo, isto é, escrever
\displaystyle r=\dfrac{a}{b},\; s=\dfrac{c}{d},\; t=\dfrac{e}{f}
com a,c,e\in\mathbb{Z} e b,d,f\in\mathbb{Z} e b,d,f>0.\n
A ordem usual em \mathbb{Q} é dada por: para frações com denominadores positivos,
\frac{a}{b} <_{\mathbb{Q}} \frac{c}{d}\quad\text{se, e somente se,}\quad ad < bc.
Não faço aqui ainda nenhuma manipulação: só listei o que temos e como a ordem é definida.

Passo 2

Escolhemos representantes com denominadores positivos. Explico por que isso é sempre possível: se uma fração tiver denominador negativo podemos multiplicar numerador e denominador por -1 para obter uma fração equivalente com denominador positivo. Assim existem inteiros a,b,c,d,e,f com b,d,f>0 tais que
r=\frac{a}{b},\qquad s=\frac{c}{d},\qquad t=\frac{e}{f}.
Lembre-se: denominadores são diferentes de zero por definição de racional.

Passo 3

Traduzimos as hipóteses r<_{\mathbb{Q}} s e s<_{\mathbb{Q}} t para desigualdades entre inteiros, usando a definição do passo 1. Assim:
r<_{\mathbb{Q}} s \implies ad < bc,
s<_{\mathbb{Q}} t \implies cf < de.
Expliquei: em cada caso aplicamos a regra \dfrac{x}{y}<_{\mathbb{Q}}\dfrac{u}{v}\iff xv<yu porque escolhemos denominadores positivos.

Passo 4

Agora vamos combinar as duas desigualdades para chegar em algo envolvendo a,c,e,b,d,f. Primeiro, multiplico a desigualdade ad < bc por f. Como f>0, multiplicar por f preserva a desigualdade; obtemos
adf < bcf.
Justificativa: regra elementar de desigualdades — se X<Y e k>0 então kX<kY.

Passo 5

Em seguida, multiplico a desigualdade cf < de por b. Como b>0, também aqui a desigualdade é preservada:
bcf < bde.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos 4 e 5 temos a cadeia
adf < bcf < bde.
Pela transitividade da desigualdade em inteiros (se u<v e v<w então u<w) obtemos
adf < bde.

Passo 7

Agora dividimos a desigualdade adf < bde por d. Como d>0, a divisão por d preserva a desigualdade, então
af < be.
Expliquei: dividir por número positivo é a mesma ideia de multiplicar por seu inverso positivo; a ordem não se inverte.

Passo 8

Volto à definição da ordem: a desigualdade af < be é exatamente a condição para
\frac{a}{b} <_{\mathbb{Q}} \frac{e}{f}.
Portanto, usando as representações do passo 2, concluímos que r<_{\mathbb{Q}} t. Isso completa a prova da transitividade.

Passo 9

Um exemplo numérico para fixar a intuição: tome r=\tfrac{1}{3}, s=\tfrac{1}{2}, t=\tfrac{3}{4}. Temos 1\cdot 2 < 3\cdot 1 (isto é, 2<3), então \tfrac{1}{3}<_{\mathbb{Q}}\tfrac{1}{2}. E 1\cdot 4 < 2\cdot 3 (isto é, 4<6), então \tfrac{1}{2}<_{\mathbb{Q}}\tfrac{3}{4}. Seguindo o mesmo raciocínio acima obtemos \tfrac{1}{3}<_{\mathbb{Q}}\tfrac{3}{4}. Exemplo simples e consistente com a prova geral.

Resposta

r<_{\mathbb{Q}} t

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