Mostre as seguintes desigualdades:
\left|\int_{C} \frac{1}{z^{4}} d z\right| \leq 4 \sqrt{2}, onde C é o segmento de reta que liga 1 a i.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade
\left|\int_{C}\frac{1}{z^{4}}\,dz\right|\leq 4\sqrt{2},
onde C é o segmento de reta que liga 1 a i. Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é f(z)=\dfrac{1}{z^{4}}.
  • A curva C é o segmento de reta entre os pontos z=1 e z=i.
  • Queremos um majorante (uma cota superior) para o valor absoluto da integral ao longo de C.

Passo 2

Vamos usar a desigualdade estimativa padrão para integrais de linha em complexos (conhecida como lema M\!L). Ela diz o seguinte: se f é contínua em C e L é o comprimento de C, então
\left|\int_{C} f(z)\,dz\right|\leq \max_{z\in C}|f(z)|\cdot L.
Explicando rapidinho por que isso é verdade: parametrize C por z(t), t\in[a,b]. Então
\int_{C} f(z)\,dz=\int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt,
e tomando módulo e usando desigualdade triangular e que |f(z(t))|\le M:=\max_{C}|f|,
\left|\int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt\right|\le\int_a^b |f(z(t))||z'(t)|\,dt\le M\int_a^b |z'(t)|\,dt = M\cdot L.
Isso é exatamente o lema M\!L. Agora aplicamos-o com f(z)=1/z^4.

Passo 3

Parametrização do segmento C do ponto 1 até i. Uma parametrização linear conveniente é
z(t)= (1-t)+it,\qquad t\in[0,1].
Verifique: z(0)=1, z(1)=i. Derivada
z'(t)= -1 + i = i-1,
que é constante ao longo do segmento.

Passo 4

Calcular o comprimento L de C. Pelo parâmetro,
L=\int_0^1 |z'(t)|\,dt = |i-1|\int_0^1 dt = |i-1|.
Agora calcule |i-1|. Em coordenadas reais, i-1 = -1 + i, então
|i-1|=\sqrt{(-1)^2 + 1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto L=\sqrt{2}.

Passo 5

Determinar \max_{z\in C}\left|\dfrac{1}{z^{4}}\right|. Note que
\left|\frac{1}{z^{4}}\right|=\frac{1}{|z|^{4}},
então o máximo de |1/z^{4}| ao longo de C ocorre quando |z| é mínimo sobre C. Usando a parametrização z(t)=(1-t)+it, temos
|z(t)|^{2}=(1-t)^{2}+t^{2}=1-2t+2t^{2}.
Para achar o mínimo em t\in[0,1] dá para completar quadrado:
|z(t)|^{2}=2\Big(t-\tfrac{1}{2}\Big)^{2}+\tfrac{1}{2}.
Logo o mínimo ocorre em t=\tfrac{1}{2} e vale
\min_{t\in[0,1]}|z(t)|^{2}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \min_{t\in[0,1]}|z(t)|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Assim
\max_{z\in C}\left|\frac{1}{z^{4}}\right|=\frac{1}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}} =\frac{1}{\dfrac{1}{4}}=4.

Passo 6

Aplicando o lema M\!L com M=\max_{C}|1/z^{4}|=4 e L=\sqrt{2}, obtemos
\left|\int_{C}\frac{1}{z^{4}}\,dz\right|\le M\cdot L = 4\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Pronto — chegamos à desigualdade pedida.

Resposta

4\sqrt{2}

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