Mostre que \oint_{C} f(z) d z=0, onde f e C são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a -\pi \leq \theta<\pi.
f(z)=\frac{1}{z^{2}} e C é o qualquer caminho fechado simples que envolve a origem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\oint_{C} f(z)\,dz = 0,
onde f(z)=\dfrac{1}{z^{2}} e C é qualquer caminho fechado simples que envolve a origem. O ramo do logaritmo informado não será necessário aqui, mas foi mencionado que é o correspondente a -\pi\le \theta<\pi.
Informações dadas:
  • f(z)=\dfrac{1}{z^{2}}.
  • C é um caminho fechado simples que envolve a origem (ou seja, a origem está no interior da curva).
  • Objetivo: provar que a integral de linha complexa \displaystyle\oint_{C}\dfrac{1}{z^{2}}dz vale 0.

Passo 2

Primeiro vou calcular a integral no caso concreto e intuitivo em que C é o círculo de raio R>0 centrado na origem, e isso já dá boa intuição. Parametrização do círculo:
z(t)=R e^{it},\qquad t\in[0,2\pi],
então
dz = iR e^{it}\,dt.
Substituindo na integral,
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}}\,dz = \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(R e^{it})^{2}}\cdot iR e^{it}\,dt.
Agora simplifico passo a passo as potências e fatores:
\frac{1}{(R e^{it})^{2}} = \frac{1}{R^{2} e^{2it}} = \frac{e^{-2it}}{R^{2}}.
Multiplicando por iR e^{it}
\frac{e^{-2it}}{R^{2}}\cdot iR e^{it} = \frac{i}{R} e^{-it}.
Logo
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}}\,dz = \frac{i}{R}\int_{0}^{2\pi} e^{-it}\,dt.
A integral de e^{-it} é simples: uma primitiva é \dfrac{e^{-it}}{-i}, ou observe que a média de e^{-it} em um período é zero. Assim
\int_{0}^{2\pi} e^{-it}\,dt = \left[\frac{e^{-it}}{-i}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{e^{-2\pi i}-1}{-i}=0,
porque e^{-2\pi i}=1. Portanto
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}}\,dz = \frac{i}{R}\cdot 0 = 0.
Comentário didático: esse cálculo mostra que, pelo menos para o círculo centrado na origem, a integral vale 0. Agora precisamos estender isso para qualquer curva fechada simples que envolve a origem.

Passo 3

Para o caso geral (curva qualquer que envolve a origem) uso a ferramenta dos resíduos, que é uma técnica padrão para integrais de funções com singularidades isoladas. Vou ensinar o essencial de forma prática.
O que é um resíduo?
Se uma função g(z) tem uma singularidade isolada em a, então em torno de a ela tem uma expansão em série de Laurent
g(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^{n},
valendo num anel torno de a. O coeficiente c_{-1} dessa expansão (o coeficiente de (z-a)^{-1}) é chamado de resíduo de g em a e escreve-se \operatorname{Res}(g,a)=c_{-1}.
Enunciado útil (Teorema dos Resíduos, versão usada aqui):
Se g é meromorfa num domínio que contém o interior de uma curva fechada simples C, exceto por singularidades isoladas a_1,\dots,a_k dentro de C, então
\oint_{C} g(z)\,dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{k} n(C,a_j)\,\operatorname{Res}(g,a_j),
onde n(C,a_j) é o número de voltas (winding number) de C em torno de a_j (para uma curva simples e padrão é geralmente n(C,a_j)=1 se a_j está interior uma única vez).
No nosso caso g(z)=\dfrac{1}{z^{2}} tem uma única singularidade isolada no ponto a=0. Para aplicar o teorema precisamos apenas do valor do resíduo \operatorname{Res}\!\big(\dfrac{1}{z^{2}},0\big).

Passo 4

Calcular o resíduo de f(z)=\dfrac{1}{z^{2}} em 0. Existem várias formas; mostro duas rápidas e didáticas.
Método A — inspeção da série de Laurent: a expansão de Laurent centrada em 0 é simplesmente
\frac{1}{z^{2}} = 1\cdot z^{-2}.
Não há termo em z^{-1}; portanto o coeficiente c_{-1} é 0. Logo
\operatorname{Res}\!\big(\tfrac{1}{z^{2}},0\big)=0.
Método B — fórmula para pólos de ordem m: se h tem um pólo de ordem m em a, então
\operatorname{Res}(h,a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-a)^{m}h(z)\big].
Aqui h(z)=\dfrac{1}{z^{2}} tem pólo de ordem m=2 em 0. Então
\operatorname{Res}\!\big(\tfrac{1}{z^{2}},0\big) = \lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\big[z^{2}\cdot \tfrac{1}{z^{2}}\big] = \lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}(1) =0.
Ambos os métodos dão o mesmo resultado: resíduo 0.

Passo 5

Aplicando o teorema dos resíduos à função \dfrac{1}{z^{2}} com a única singularidade no interior da curva C (a origem), obtemos
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}}\,dz = 2\pi i \, n(C,0)\,\operatorname{Res}\!\big(\tfrac{1}{z^{2}},0\big).
Como \operatorname{Res}\!\big(\tfrac{1}{z^{2}},0\big)=0, segue imediatamente que
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}}\,dz = 0,
independentemente do número de voltas n(C,0). Isso mostra o resultado para qualquer curva fechada simples que envolva a origem.

Resposta

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