Mostre que
, onde
e
são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a
.
e
é o qualquer caminho fechado simples que envolve a origem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
e
é qualquer caminho fechado simples que envolve a origem. O ramo do logaritmo informado não será necessário aqui, mas foi mencionado que é o correspondente a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
é um caminho fechado simples que envolve a origem (ou seja, a origem está no interior da curva). - Objetivo: provar que a integral de linha complexa
vale .
Passo 2
Primeiro vou calcular a integral no caso concreto e intuitivo em que
é o círculo de raio
centrado na origem, e isso já dá boa intuição. Parametrização do círculo:
então
Substituindo na integral,
Agora simplifico passo a passo as potências e fatores:
Multiplicando por
dá
Logo
A integral de
é simples: uma primitiva é
, ou observe que a média de
em um período é zero. Assim
porque
. Portanto
Comentário didático: esse cálculo mostra que, pelo menos para o círculo centrado na origem, a integral vale
. Agora precisamos estender isso para qualquer curva fechada simples que envolve a origem.
Passo 3
Para o caso geral (curva qualquer que envolve a origem) uso a ferramenta dos resíduos, que é uma técnica padrão para integrais de funções com singularidades isoladas. Vou ensinar o essencial de forma prática.
O que é um resíduo?
Se uma função tem uma singularidade isolada em
, então em torno de
ela tem uma expansão em série de Laurent
Se uma função
valendo num anel torno de
. O coeficiente
dessa expansão (o coeficiente de
) é chamado de resíduo de
em
e escreve-se
.
Enunciado útil (Teorema dos Resíduos, versão usada aqui):
Se é meromorfa num domínio que contém o interior de uma curva fechada simples
, exceto por singularidades isoladas
dentro de
, então
Se
onde
é o número de voltas (winding number) de
em torno de
(para uma curva simples e padrão é geralmente
se
está interior uma única vez).
No nosso caso
tem uma única singularidade isolada no ponto
. Para aplicar o teorema precisamos apenas do valor do resíduo
.
Passo 4
Calcular o resíduo de
em
. Existem várias formas; mostro duas rápidas e didáticas.
Método A — inspeção da série de Laurent: a expansão de Laurent centrada em
é simplesmente
Não há termo em
; portanto o coeficiente
é
. Logo
Método B — fórmula para pólos de ordem
: se
tem um pólo de ordem
em
, então
Aqui
tem pólo de ordem
em
. Então
Ambos os métodos dão o mesmo resultado: resíduo
.
Passo 5
Aplicando o teorema dos resíduos à função
com a única singularidade no interior da curva
(a origem), obtemos
Como
, segue imediatamente que
independentemente do número de voltas
. Isso mostra o resultado para qualquer curva fechada simples que envolva a origem.
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