Mostre que
, onde
e
são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a
.
e
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
-
, - o ramo do logaritmo é o ramo principal com
, -
é o círculo dado por .
Informações fornecidas que vamos usar:
- A equação do círculo
. - As singularidades possíveis da função vêm de
e do ponto (ponto de ramificação do logaritmo) e do corte do logaritmo. - O ramo do logaritmo principal tem corte ao longo do semieixo real negativo (para a variável dentro do logaritmo).
Passo 2
Vou escrever a equação do círculo de forma mais conveniente. A equação dada é
Rearranjando obtemos
ou seja
Portanto
é o círculo centrado em
com raio
. Em notação complexa, o disco fechado associado é
.
Passo 3
Identifico as singularidades da função
.
- As raízes do denominador
são e . Esses são polos isolados da função racional (e, portanto, potenciais singulares de se o numerador não anular ali). - O numerador
tem ponto de ramificação em e um corte de ramo para os pontos onde pertence ao semieixo real negativo, isto é para .
Passo 4
Agora verifico a posição relativa desses pontos em relação ao círculo
.
- A distância do centro
ao ponto é , logo está fora de . - A distância ao ponto
é , logo está fora de . - A distância ao ponto
é , logo está fora de . - O corte de ramo de
é o conjunto do eixo real. Todos esses pontos têm abscissa , portanto estão à esquerda de . O círculo tem seus pontos na faixa real entre (ponto mais à esquerda) e (ponto mais à direita), porque o disco intercepta o eixo real em e . Assim o corte está completamente fora do disco fechado .
Passo 5
Concluo sobre a regularidade de
no interior e na fronteira do disco:
- Não há polos de
dentro ou sobre , porque estão fora. - O ponto de ramificação
e todo o corte de ramo estão fora do disco fechado. - Sobre o disco fechado
podemos escolher o braço do logaritmo (já dado: ramo principal) e então a função é holomorfa nessa região (é composição de , que é inteira, com o logaritmo definido e holomorfo no domínio complexo cortado que não intersecta o disco).
Portantoé holomorfa (analítica) em uma vizinhança aberta que contém o disco fechado delimitado por .
Passo 6
Recordando o resultado fundamental que vou usar: se uma função é holomorfa em uma vizinhança aberta que contém uma curva fechada simples
e seu interior, então a integral de linha complexa ao longo de
é zero. Em outras palavras, a hipótese necessária do teorema de Cauchy (ou do corolário que integra uma função holomorfa sobre contorno fechado) está satisfeita.
Passo 7
Aplicando o teorema de Cauchy à função
, como
é holomorfa em uma vizinhança do disco fechado
, segue que
(Comentário alternativo curto: pelo teorema dos resíduos, a integral é
vezes a soma das residuais de
dentro de
; como não há singularidades dentro de
, a soma é zero e a integral é zero.)