Mostre que \oint_{C} f(z) d z=0, onde f e C são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a -\pi \leq \theta<\pi.
f(z)=\frac{\log (z+1)}{z^{2}-9} e C é o círculo x^{2}+y^{2}=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \oint_{C} f(z)\,dz=0 onde
  • f(z)=\dfrac{\log(z+1)}{z^{2}-9},
  • o ramo do logaritmo é o ramo principal com -\pi\le \theta<\pi,
  • C é o círculo dado por x^{2}+y^{2}=2x.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A equação do círculo x^{2}+y^{2}=2x.
  • As singularidades possíveis da função vêm de z^{2}-9=0 e do ponto z=-1 (ponto de ramificação do logaritmo) e do corte do logaritmo.
  • O ramo do logaritmo principal tem corte ao longo do semieixo real negativo (para a variável dentro do logaritmo).

Passo 2

Vou escrever a equação do círculo de forma mais conveniente. A equação dada é
x^{2}+y^{2}=2x.
Rearranjando obtemos
x^{2}-2x+1+y^{2}=1,
ou seja
(x-1)^{2}+y^{2}=1.
Portanto C é o círculo centrado em 1+0i com raio 1. Em notação complexa, o disco fechado associado é \{z\in\mathbb{C}:|z-1|\le 1\}.

Passo 3

Identifico as singularidades da função f.
  • As raízes do denominador z^{2}-9=0 são z=3 e z=-3. Esses são polos isolados da função racional \dfrac{1}{z^{2}-9} (e, portanto, potenciais singulares de f se o numerador não anular ali).
  • O numerador \log(z+1) tem ponto de ramificação em z=-1 e um corte de ramo para os pontos onde z+1 pertence ao semieixo real negativo, isto é para z\in(-\infty,-1].

Passo 4

Agora verifico a posição relativa desses pontos em relação ao círculo C.
  • A distância do centro 1 ao ponto z=3 é |3-1|=2>1, logo z=3 está fora de C.
  • A distância ao ponto z=-3 é |-3-1|=4>1, logo z=-3 está fora de C.
  • A distância ao ponto z=-1 é |-1-1|=2>1, logo z=-1 está fora de C.
  • O corte de ramo de \log(z+1) é o conjunto (-\infty,-1] do eixo real. Todos esses pontos têm abscissa \le -1, portanto estão à esquerda de -1. O círculo C tem seus pontos na faixa real entre 0 (ponto mais à esquerda) e 2 (ponto mais à direita), porque o disco \{ |z-1|\le1\} intercepta o eixo real em x=0 e x=2. Assim o corte (-\infty,-1] está completamente fora do disco fechado \{ |z-1|\le1\}.

Passo 5

Concluo sobre a regularidade de f no interior e na fronteira do disco:
  • Não há polos de f dentro ou sobre C, porque z=\pm3 estão fora.
  • O ponto de ramificação z=-1 e todo o corte de ramo (-\infty,-1] estão fora do disco fechado.
  • Sobre o disco fechado \{ |z-1|\le1\} podemos escolher o braço do logaritmo (já dado: ramo principal) e então a função z\mapsto\log(z+1) é holomorfa nessa região (é composição de z\mapsto z+1, que é inteira, com o logaritmo definido e holomorfo no domínio complexo cortado que não intersecta o disco).
    Portanto f é holomorfa (analítica) em uma vizinhança aberta que contém o disco fechado delimitado por C.

Passo 6

Recordando o resultado fundamental que vou usar: se uma função é holomorfa em uma vizinhança aberta que contém uma curva fechada simples C e seu interior, então a integral de linha complexa ao longo de C é zero. Em outras palavras, a hipótese necessária do teorema de Cauchy (ou do corolário que integra uma função holomorfa sobre contorno fechado) está satisfeita.

Passo 7

Aplicando o teorema de Cauchy à função f, como f é holomorfa em uma vizinhança do disco fechado \{ |z-1|\le1\}, segue que
\oint_{C} f(z)\,dz=0.
(Comentário alternativo curto: pelo teorema dos resíduos, a integral é 2\pi i vezes a soma das residuais de f dentro de C; como não há singularidades dentro de C, a soma é zero e a integral é zero.)

Resposta

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