Mostre que
, onde
e
são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a
.
e
é o círculo centrado na origem de raio 2 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde são dadas as seguintes informações:
- A função é
. - O contorno
é o círculo centrado na origem de raio . - O ramo do logaritmo indicado no enunciado é o correspondente a
(informação fornecida pelo enunciado).
A tarefa é calcular ou justificar o valor da integral de linha complexa ao longo de.
Passo 2
Escolha do método e enunciado da ferramenta que vou usar.
- Método escolhido: Teorema dos Resíduos. Motivo:
é uma função racional (razão de polinômios) e é um contorno simples e fechado que contém possíveis polos no seu interior; o teorema dos resíduos é a forma padrão e direta de avaliar integrais de funções meromorfas em contornos fechados. - Enunciado do que vou usar (resumo didático): se
é meromorfa numa região que contém e seu interior, e são os polos de no interior de , então
Aqui
é o resíduo de
em
. Para um polo simples
(zero simples do denominador), a fórmula prática é
Outra fórmula útil quando
e
com
(zero simples) é
Vou aplicar isso: primeiro localizo os polos (raízes do denominador) e verifico quais estão dentro do círculo de raio
.
Passo 3
Encontrar os polos: resolver a equação do denominador
Agrupando termos em
,
Aplicando a fórmula quadrática: para
temos
. Aqui
,
,
. Então
Calculo de
:
Portanto
Agora precisamos de
. Observação rápida (verificação simples):
. Logo podemos escolher
(o outro sinal dará a outra raiz, que é o mesmo caso com
). Assim as raízes são
Calcule as duas opções:
- Tomando o sinal
:
- Tomando o sinal
:
Conclusão: os polos são
e
. Ambos têm módulo
e
, logo estão dentro do círculo de raio
. São polos simples porque as raízes da equação do denominador são distintas (multiplicidade 1).
Passo 4
Cálculo dos resíduos nos polos simples.
Defina , de modo que
. Para um polo simples
em que
e
,
Defina
Calcule
.
Residuo em
:
logo
Simplificando (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
):
Residuo em
:
Então
Simplificando:
Passo 5
Somar os resíduos e aplicar o teorema dos resíduos.
Soma:
Soma:
Pelo teorema dos resíduos,
Comentário final (didático e prático): a escolha do ramo do logaritmo indicada no enunciado não influencia aqui porque a função
é uma razão de polinômios (uma função racional) sem logaritmos presentes; tudo que interessa são os polos internos e seus resíduos, que calcularam e se cancelaram, dando integral nula.