Mostre que \oint_{C} f(z) d z=0, onde f e C são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a -\pi \leq \theta<\pi.
f(z)=\frac{1}{z^{2}-z+i z-i} e C é o círculo centrado na origem de raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\oint_{C} f(z)\,dz = 0,
onde são dadas as seguintes informações:
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{1}{z^{2}-z+i z-i}.
  • O contorno C é o círculo centrado na origem de raio 2.
  • O ramo do logaritmo indicado no enunciado é o correspondente a -\pi\le\theta<\pi (informação fornecida pelo enunciado).
    A tarefa é calcular ou justificar o valor da integral de linha complexa ao longo de C.

Passo 2

Escolha do método e enunciado da ferramenta que vou usar.
  • Método escolhido: Teorema dos Resíduos. Motivo: f é uma função racional (razão de polinômios) e C é um contorno simples e fechado que contém possíveis polos no seu interior; o teorema dos resíduos é a forma padrão e direta de avaliar integrais de funções meromorfas em contornos fechados.
  • Enunciado do que vou usar (resumo didático): se f é meromorfa numa região que contém C e seu interior, e z_1,\dots,z_n são os polos de f no interior de C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f; z_k).
Aqui \operatorname{Res}(f; z_k) é o resíduo de f em z_k. Para um polo simples z_0 (zero simples do denominador), a fórmula prática é
\operatorname{Res}(f; z_0) = \lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z).
Outra fórmula útil quando f(z)=\dfrac{1}{g(z)} e g(z_0)=0 com g'(z_0)\neq 0 (zero simples) é
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{g};z_0\right)=\frac{1}{g'(z_0)}.
Vou aplicar isso: primeiro localizo os polos (raízes do denominador) e verifico quais estão dentro do círculo de raio 2.

Passo 3

Encontrar os polos: resolver a equação do denominador
z^{2}-z+i z-i=0.
Agrupando termos em z,
z^{2}+(-1+i)z - i = 0.
Aplicando a fórmula quadrática: para az^2+bz+c=0 temos z=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=-1+i, c=-i. Então
\Delta = b^2-4ac = (-1+i)^2 - 4(1)(-i).
Calculo de (-1+i)^2:
(-1+i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)i + i^2 = 1 - 2i -1 = -2i.
Portanto
\Delta = -2i + 4i = 2i.
Agora precisamos de \sqrt{\Delta}=\sqrt{2i}. Observação rápida (verificação simples): (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i. Logo podemos escolher \sqrt{2i}=1+i (o outro sinal dará a outra raiz, que é o mesmo caso com \pm). Assim as raízes são
z=\frac{1-i \pm (1+i)}{2}.
Calcule as duas opções:
  • Tomando o sinal +:
z=\frac{1-i + 1 + i}{2}=\frac{2}{2}=1.
  • Tomando o sinal -:
z=\frac{1-i -1 - i}{2}=\frac{-2i}{2}=-i.
Conclusão: os polos são z_1=1 e z_2=-i. Ambos têm módulo |1|=1<2 e |-i|=1<2, logo estão dentro do círculo de raio 2. São polos simples porque as raízes da equação do denominador são distintas (multiplicidade 1).

Passo 4

Cálculo dos resíduos nos polos simples.
Defina g(z)=z^{2}+(-1+i)z - i, de modo que f(z)=1/g(z). Para um polo simples z_0 em que g(z_0)=0 e g'(z_0)\neq0,
\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{g'(z_0)}.
Calcule g'(z)=2z + (-1+i)=2z -1 + i.
Residuo em z=1:
g'(1)=2\cdot 1 -1 + i = 1 + i,
logo
\operatorname{Res}(f;1)=\frac{1}{1+i}.
Simplificando (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 1-i):
\operatorname{Res}(f;1)=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1+1}=\frac{1-i}{2}.
Residuo em z=-i:
g'(-i)=2(-i)-1 + i = -2i -1 + i = -1 - i.
Então
\operatorname{Res}(f;-i)=\frac{1}{-1 - i} = -\frac{1}{1+i}.
Simplificando:
\operatorname{Res}(f;-i) = -\frac{1-i}{2} = \frac{-1 + i}{2}.

Passo 5

Somar os resíduos e aplicar o teorema dos resíduos.
Soma:
\operatorname{Res}(f;1)+\operatorname{Res}(f;-i)=\frac{1-i}{2}+\frac{-1+i}{2}=0.
Pelo teorema dos resíduos,
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \left(\operatorname{Res}(f;1)+\operatorname{Res}(f;-i)\right) = 2\pi i \cdot 0 = 0.
Comentário final (didático e prático): a escolha do ramo do logaritmo indicada no enunciado não influencia aqui porque a função f é uma razão de polinômios (uma função racional) sem logaritmos presentes; tudo que interessa são os polos internos e seus resíduos, que calcularam e se cancelaram, dando integral nula.

Resposta

0

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