Mostre que
, onde
é o vetor posição e
é uma curva de Jordan.
20. Dados
e
dois campos escalares definidos em
, mostre que dada
uma curva de Jordan,
20. Dados
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
-
Pedidos:
- Mostrar que
. - Mostrar que, para
e escalares em , vale .
- Mostrar que
-
Dados relevantes:
-
é uma curva de Jordan (ou seja, uma curva simples fechada e assumimos que é regular/peça‑por‑peça suave para que integrais de linha façam sentido). -
é o vetor posição; ao parametrizar escrevemos para com . -
e são funções escalares suficientemente suaves (diferençiáveis) em .
-
Passo 2
Preparação: formulação dos conceitos que vamos usar (explicação didática).
- Parametrização de uma curva: se
é dada por , , então . A integral de linha de um campo vetorial ao longo de é
- Derivada de um produto escalar: para
vale a regra
Isto é só a regra da cadeia aplicada ao produto escalar: pense em
como uma função escalar
.
- Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha: se
é uma função escalar e é seu gradiente, então
Em particular, para curva fechada com
essa integral é zero. Isso decorre do fato de
é o diferencial exato de
ao longo da curva.
Passo 3
Resolver a primeira parte:
.
- Parametrizamos
por , , com . Então
- Usando a identdade do passo anterior,
- Substituindo na integral,
- Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
- Como
(curva fechada), o parêntese é zero. Logo
Pequena intuição:
é exatamente metade da variação de
; ao percorrer a curva fechada a variação total de
é zero.
Passo 4
Preparação para a segunda parte: regra do gradiente do produto e uso do teorema fundamental.
- Regra do gradiente para produto de escalares: para funções
e ,
Isto é análogo à regra do produto para derivadas escalares, aplicada componente a componente ao gradiente.
- Observação:
é o gradiente da função escalar . Pelo teorema fundamental citado antes,
porque
é fechada (
).
Passo 5
Resolver a segunda parte:
.
- Começo escrevendo a identidade do passo anterior e integrando sobre
:
- Pela linearidade da integral,
- Pelo teorema fundamental (linha exata) a integral do lado esquerdo é zero, então
- Rearranjando,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 6
Comentário didático final e um exemplo curto para fixar.
-
Interpretação: a identidade vem do fato de que
e aparecem como termos do gradiente exato . A integral de um gradiente ao longo de um circuito fechado é zero — portanto os dois termos se anulam mutuamente quando somados. -
Exemplo rápido (para sentir na prática): tome
e , e círculo unitário no plano parametrizado por , . Então e . Calcula-se
e
Como
, obtemos a igualdade desejada neste exemplo concreto:
.