Mostre que \oint_{C} \vec{r} \cdot d \vec{r}=0, onde \vec{r} é o vetor posição e C é uma curva de Jordan.
20. Dados f e g dois campos escalares definidos em \mathbb{R}^{3}, mostre que dada C uma curva de Jordan,
\oint_{C} f(\nabla g) \cdot d \vec{r}=-\oint_{C} g(\nabla f) \cdot d \vec{r}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedidos:
    1. Mostrar que \displaystyle \oint_{C} \vec{r}\cdot d\vec{r}=0.
    2. Mostrar que, para f e g escalares em \mathbb{R}^3, vale \displaystyle \oint_{C} f(\nabla g)\cdot d\vec{r} = -\oint_{C} g(\nabla f)\cdot d\vec{r}.
  • Dados relevantes:
    • C é uma curva de Jordan (ou seja, uma curva simples fechada e assumimos que é regular/peça‑por‑peça suave para que integrais de linha façam sentido).
    • \vec{r} é o vetor posição; ao parametrizar C escrevemos \vec{r}=\vec{r}(t) para t\in[a,b] com \vec{r}(a)=\vec{r}(b).
    • f e g são funções escalares suficientemente suaves (diferençiáveis) em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Preparação: formulação dos conceitos que vamos usar (explicação didática).
  • Parametrização de uma curva: se C é dada por \vec{r}(t), t\in[a,b], então d\vec{r}=\vec{r}'(t)\,dt. A integral de linha de um campo vetorial \vec{F} ao longo de C é
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt.
  • Derivada de um produto escalar: para \vec{r}(t) vale a regra
\frac{d}{dt}\big(\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)\big) = 2\,\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t).
Isto é só a regra da cadeia aplicada ao produto escalar: pense em \vec{r}\cdot\vec{r} como uma função escalar h(t).
  • Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha: se \varphi é uma função escalar e \nabla\varphi é seu gradiente, então
\int_C \nabla\varphi\cdot d\vec{r} = \varphi(\vec{r}(b))-\varphi(\vec{r}(a)).
Em particular, para curva fechada com \vec{r}(a)=\vec{r}(b) essa integral é zero. Isso decorre do fato de \nabla\varphi\cdot d\vec{r} é o diferencial exato de \varphi ao longo da curva.

Passo 3

Resolver a primeira parte: \displaystyle \oint_{C} \vec{r}\cdot d\vec{r}=0.
  • Parametrizamos C por \vec{r}(t), t\in[a,b], com \vec{r}(a)=\vec{r}(b). Então
\oint_C \vec{r}\cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)\,dt.
  • Usando a identdade do passo anterior,
\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t) = \tfrac{1}{2}\,\frac{d}{dt}\big(\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)\big).
  • Substituindo na integral,
\int_a^b \vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)\,dt = \tfrac{1}{2}\int_a^b \frac{d}{dt}\big(\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)\big)\,dt.
  • Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
\tfrac{1}{2}\int_a^b \frac{d}{dt}\big(\vec{r}\cdot\vec{r}\big)\,dt = \tfrac{1}{2}\big[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)\big]_{t=a}^{t=b} = \tfrac{1}{2}\big(\vec{r}(b)\cdot\vec{r}(b) - \vec{r}(a)\cdot\vec{r}(a)\big).
  • Como \vec{r}(a)=\vec{r}(b) (curva fechada), o parêntese é zero. Logo
\oint_C \vec{r}\cdot d\vec{r} = 0.
Pequena intuição: \vec{r}\cdot d\vec{r} é exatamente metade da variação de |\vec{r}|^2; ao percorrer a curva fechada a variação total de |\vec{r}|^2 é zero.

Passo 4

Preparação para a segunda parte: regra do gradiente do produto e uso do teorema fundamental.
  • Regra do gradiente para produto de escalares: para funções f e g,
\nabla(fg) = f\,\nabla g + g\,\nabla f.
Isto é análogo à regra do produto para derivadas escalares, aplicada componente a componente ao gradiente.
  • Observação: \nabla(fg) é o gradiente da função escalar fg. Pelo teorema fundamental citado antes,
\oint_C \nabla(fg)\cdot d\vec{r} = (fg)(\vec{r}(b)) - (fg)(\vec{r}(a)) = 0
porque C é fechada ( \vec{r}(a)=\vec{r}(b)).

Passo 5

Resolver a segunda parte: \displaystyle \oint_{C} f(\nabla g)\cdot d\vec{r} = -\oint_{C} g(\nabla f)\cdot d\vec{r}.
  • Começo escrevendo a identidade do passo anterior e integrando sobre C:
\oint_C \nabla(fg)\cdot d\vec{r} = \oint_C \big(f\,\nabla g + g\,\nabla f\big)\cdot d\vec{r}.
  • Pela linearidade da integral,
\oint_C \nabla(fg)\cdot d\vec{r} = \oint_C f\,\nabla g\cdot d\vec{r} + \oint_C g\,\nabla f\cdot d\vec{r}.
  • Pelo teorema fundamental (linha exata) a integral do lado esquerdo é zero, então
0 = \oint_C f\,\nabla g\cdot d\vec{r} + \oint_C g\,\nabla f\cdot d\vec{r}.
  • Rearranjando,
\oint_C f\,\nabla g\cdot d\vec{r} = -\oint_C g\,\nabla f\cdot d\vec{r},
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 6

Comentário didático final e um exemplo curto para fixar.
  • Interpretação: a identidade vem do fato de que f\nabla g e g\nabla f aparecem como termos do gradiente exato \nabla(fg). A integral de um gradiente ao longo de um circuito fechado é zero — portanto os dois termos se anulam mutuamente quando somados.
  • Exemplo rápido (para sentir na prática): tome f(x,y,z)=x e g(x,y,z)=y, e C círculo unitário no plano xy parametrizado por \vec{r}(t)=(\cos t,\sin t,0), t\in[0,2\pi]. Então \nabla g=(0,1,0) e \nabla f=(1,0,0). Calcula-se
\oint_C f\,\nabla g\cdot d\vec{r}=\int_0^{2\pi} (\cos t)\,(0,1,0)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt =\int_0^{2\pi} (\cos t)(\cos t)\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^2 t\,dt,
e
\oint_C g\,\nabla f\cdot d\vec{r}=\int_0^{2\pi} (\sin t)\,(1,0,0)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt =\int_0^{2\pi} (\sin t)(-\sin t)\,dt=-\int_0^{2\pi}\sin^2 t\,dt.
Como \int_0^{2\pi}\cos^2 t\,dt = \int_0^{2\pi}\sin^2 t\,dt, obtemos a igualdade desejada neste exemplo concreto:
\oint_C f\nabla g\cdot d\vec{r} = -\oint_C g\nabla f\cdot d\vec{r}.

Resposta

\displaystyle \oint_{C} \vec{r}\cdot d\vec{r}=0
\displaystyle \oint_{C} f(\nabla g)\cdot d\vec{r}=-\oint_{C} g(\nabla f)\cdot d\vec{r}

Exercícios relacionados