Calcule a massa de um helicóide
cuja densidade linear é dada por
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A curva (helicóide) é dada pela parametrização
- A densidade linear ao longo da curva é
- O pedido: calcular a massa
da curva, isto é a integral da densidade ao longo do comprimento da curva.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma curva parametrizada por
, , com densidade linear , a massa é dada por
Aqui:
-
é o vetor posição da curva em função de . -
é a derivada do vetor posição (derivada componente a componente). -
é a velocidade (norma do vetor derivada) e mede o pequeno comprimento ao longo da curva. - Então calculamos
e e implantamos na integral de de a .
Passo 3
Calcular
(derivada componente a componente) e sua norma:
- A parametrização vetorial é
. - Derivando componente a componente:
- Norma dessa derivada (mostrar passo a passo):
Usando
obtemos
Observação: a velocidade é constante ao longo da curva, o que simplifica bastante a integral.
Passo 4
Calcular
substituindo as componentes:
Desenvolvendo:
Portanto a densidade ao longo da parametrização é
.
Passo 5
Montar e simplificar a integral da massa:
Multiplicando constantes:
Agora integramos polinômios (fórmula básica:
para
):
Logo
Passo 6
Simplificar a expressão final:
Fatorando
em comum:
Também se pode escrever distribuindo: