Calcule a massa de um helicóide
\left\{\begin{aligned} x(t) & =2 \cos (t) \\\ y(t) & =2 \sin (t) \\\ z(t) & =2 t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi \end{aligned}\right.
cuja densidade linear é dada por
\rho(\vec{r})=\rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A curva (helicóide) é dada pela parametrização
x(t)=2\cos(t),\qquad y(t)=2\sin(t),\qquad z(t)=2t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
  • A densidade linear ao longo da curva é
\rho(\vec{r})=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • O pedido: calcular a massa m da curva, isto é a integral da densidade ao longo do comprimento da curva.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma curva parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b, com densidade linear \rho(\vec{r}), a massa é dada por
m=\int_{C}\rho(\vec{r})\,ds=\int_{a}^{b}\rho(\vec{r}(t))\,\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert\,dt.
Aqui:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição da curva em função de t.
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada do vetor posição (derivada componente a componente).
  • \lVert \vec{r}\,'(t)\rVert é a velocidade (norma do vetor derivada) e ds=\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert dt mede o pequeno comprimento ao longo da curva.
  • Então calculamos \rho(\vec{r}(t)) e \lVert \vec{r}\,'(t)\rVert e implantamos na integral de t de 0 a 2\pi.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) (derivada componente a componente) e sua norma:
  • A parametrização vetorial é \vec{r}(t)=(2\cos t,\,2\sin t,\,2t).
  • Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=(-2\sin t,\;2\cos t,\;2).
  • Norma dessa derivada (mostrar passo a passo):
\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert =\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}+2^{2}} =\sqrt{4\sin^{2}t+4\cos^{2}t+4}.
Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos
\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert=\sqrt{4\cdot 1+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Observação: a velocidade é constante ao longo da curva, o que simplifica bastante a integral.

Passo 4

Calcular \rho(\vec{r}(t)) substituindo as componentes:
\rho(\vec{r}(t))=x(t)^{2}+y(t)^{2}+z(t)^{2}=(2\cos t)^{2}+(2\sin t)^{2}+(2t)^{2}.
Desenvolvendo:
\rho(\vec{r}(t))=4\cos^{2}t+4\sin^{2}t+4t^{2}=4(\cos^{2}t+\sin^{2}t+t^{2})=4(1+t^{2}).
Portanto a densidade ao longo da parametrização é \rho(\vec{r}(t))=4(1+t^{2}).

Passo 5

Montar e simplificar a integral da massa:
m=\int_{0}^{2\pi}\rho(\vec{r}(t))\,\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert\,dt =\int_{0}^{2\pi}4(1+t^{2})\cdot 2\sqrt{2}\;dt.
Multiplicando constantes:
m=8\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}(1+t^{2})\,dt.
Agora integramos polinômios (fórmula básica: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1):
\int_{0}^{2\pi}(1+t^{2})\,dt=\left[t+\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2\pi}=2\pi+\dfrac{(2\pi)^{3}}{3}=2\pi+\dfrac{8\pi^{3}}{3}.
Logo
m=8\sqrt{2}\left(2\pi+\dfrac{8\pi^{3}}{3}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão final:
m=8\sqrt{2}\left(2\pi+\dfrac{8\pi^{3}}{3}\right) =8\sqrt{2}\cdot \dfrac{6\pi+8\pi^{3}}{3} =\dfrac{8\sqrt{2}}{3}(6\pi+8\pi^{3}).
Fatorando 2 em comum:
m=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\bigl(3\pi+4\pi^{3}\bigr).
Também se pode escrever distribuindo:
m=\dfrac{48\sqrt{2}\,\pi+64\sqrt{2}\,\pi^{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\bigl(3\pi+4\pi^{3}\bigr)

Exercícios relacionados