Seja uma esfera uniformemente carregada com uma carga q. O campo elétrico para esta esfera é dado por:
& E=q r4 pi varepsilon0 R^3 r para r <= R & E=q4 pi varepsilon0 r^2 r para r >= R
onde R é o raio da esfera. Foi considerado, como referência, o potencial elétrico nulo no infinito. Integre o campo elétrico acima para obter o potencial V nas regiões:
a) r >= R
b) r <= R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma esfera de raio E(r)= dfracq,r4pivarepsilon0,R^3,hat r&se r<= R,[6pt] dfracq4pivarepsilon0,r^2,hat r&se r>= R com carga total V(b)-V(a) = -integrala^bvec Ecdot dvec ell distribuída de modo uniforme. Eles já deram o campo elétrico:
O que queremos é o potencial (com ) nessas duas regiões.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de potencial elétrico:
  • Aqui vamos tomar e achar via .

Passo 2

Região externa ( V(r) ;=; -integralinfty^r E(r'),dr' = -integralinfty^r q4pivarepsilon0,r'^2,dr' ):
  1. O campo fora da esfera é igual ao de uma carga pontual:
    V(r) = -q4pivarepsilon0[-1r']infty^r = q4pivarepsilon0,r .
  2. Então
  3. Integral de é . Logo:

Passo 3

Região interna ( V(R) = q4pivarepsilon0,R ):
  1. A ideia é dividir a integração em dois trechos: de V(r) = V(R) - integralR^r Eint(r'),dr', Eint(r')=q,r'4pivarepsilon0,R^3 até integralR^r q,r'4pivarepsilon0,R^3,dr' = q4pivarepsilon0,R^3,r'^22|R^r = q8pivarepsilon0,R^3l(r^2 - R^2r) (usando o V(r) = q4pivarepsilon0,R - q8pivarepsilon0,R^3(r^2 - R^2) externo) e de V(r) = q8pivarepsilon0,R^3l(3R^2 - r^2r) até (usando o interno).
  2. Já sabemos de fora que
  3. Agora usamos
  4. Calculando essa integral:
  5. Como vem com sinal negativo:
  6. Simplificando:

Resposta

a) Para boxedV(r) = q4pivarepsilon0,r :
boxedV(r) = q8pivarepsilon0,R^3,(3R^2 - r^2)
b) Para :

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