Seja uma esfera uniformemente carregada com uma carga . O campo elétrico para esta esfera é dado por:
onde R é o raio da esfera. Foi considerado, como referência, o potencial elétrico nulo no infinito. Integre o campo elétrico acima para obter o potencial V nas regiões:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma esfera de raio com carga total distribuída de modo uniforme. Eles já deram o campo elétrico:
O que queremos é o potencial (com ) nessas duas regiões.
Conteúdo que vamos usar:
O campo fora da esfera é igual ao de uma carga pontual: V(r) = -q4pivarepsilon0[-1r']infty^r = q4pivarepsilon0,r .
Então
Integral de é . Logo:
Passo 3
Região interna ( V(R) = q4pivarepsilon0,R ):
A ideia é dividir a integração em dois trechos: de V(r) = V(R) - integralR^r Eint(r'),dr', Eint(r')=q,r'4pivarepsilon0,R^3 até integralR^r q,r'4pivarepsilon0,R^3,dr' = q4pivarepsilon0,R^3,r'^22|R^r = q8pivarepsilon0,R^3l(r^2 - R^2r) (usando o V(r) = q4pivarepsilon0,R - q8pivarepsilon0,R^3(r^2 - R^2) externo) e de V(r) = q8pivarepsilon0,R^3l(3R^2 - r^2r) até (usando o interno).