Mostre que para ondas eletromagnéticas planas que sofrem reflexão e refração na interface entre dois dielétricos, se E0, E0^prime, e E0^prime prime são as amplitudes das ondas incidente, refratada, e refletida, respectivamente, se E é perpendicular ao plano de incidência
& E0^primeE0=2 n cos in cos i+mumu^prime raizn^prime 2-n^2 sin ^2 i & E0^prime primeE0=n cos i-mumu^prime raizn^prime 2-n^2 sin ^2 in cos i+mumu^prime raizn^prime 2-n^2 sin ^2 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é sobre ondas eletromagnéticas que estão batendo numa interface entre dois materiais dielétricos e sofrem reflexão e refração. A gente vai precisar usar os conceitos de condições de contorno para as ondas eletromagnéticas e as equações de Fresnel para encontrar as relações das amplitudes das ondas refletida e refratada em relação à onda incidente. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das condições de contorno para ondas eletromagnéticas numa interface. Quando uma onda chega numa fronteira entre dois materiais, as componentes tangenciais dos campos elétrico ( E) e magnético ( H) devem ser contínuas. Isso significa que não pode ter “saltos” nessas componentes na interface.

Passo 3

Agora, vamos considerar as ondas:
  • Onda Incidente: Tem amplitude E0 e chega com um ângulo i em relação à normal da interface.
  • Onda Refratada: Passa para o segundo material com amplitude E'0 e ângulo de refração r.
  • Onda Refletida: Reflete no primeiro material com amplitude E''0 e o ângulo de reflexão também é i (por causa da lei da reflexão).
Como o campo elétrico E é perpendicular ao plano de incidência (ou seja, estamos lidando com a polarização s), isso simplifica um pouco as coisas porque não precisamos nos preocupar com as componentes no plano.

Passo 4

Vamos escrever as equações de Fresnel para a polarização s. Essas equações relacionam as amplitudes das ondas refletida e refratada com a onda incidente. Para a polarização s, as equações são:
E'0E0 = 2n cos in cos i + n' cos r
E''0E0 = n cos i - n' cos rn cos i + n' cos r
Aqui, n e n' são os índices de refração dos dois materiais. Mas no enunciado também temos a relação com as permeabilidades magnéticas mu e mu', então vamos adaptar isso.

Passo 5

Para incluir as permeabilidades magnéticas, precisamos ajustar as equações. A relação entre os campos envolve também a permeabilidade, então as equações ficam:
E'0E0 = 2n cos in cos i + mumu' raizn'^2 - n^2 sin^2 i
E''0E0 = n cos i - mumu' raizn'^2 - n^2 sin^2 in cos i + mumu' raizn'^2 - n^2 sin^2 i
Essas fórmulas levam em conta tanto os índices de refração quanto as permeabilidades dos materiais envolvidos, ajustando assim as amplitudes das ondas refletida e refratada.

Resposta

As relações das amplitudes das ondas refratada e refletida em função da onda incidente são:
E0^primeE0 = 2n cos in cos i + mumu^prime raizn^prime 2 - n^2 sin^2 i
e
E0^prime primeE0 = n cos i - mumu^prime raizn^prime 2 - n^2 sin^2 in cos i + mumu^prime raizn^prime 2 - n^2 sin^2 i

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