Sejam
e
dois inteiros. Se
e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros tais que
e
. O conteúdo é divisibilidade em
. Para resolver, vamos usar a definição: se
então existe
com
; e se
então existe
com
.
Passo 2
Da condição
segue que existe
tal que
Da condição
segue que existe
tal que
Passo 3
Substituindo
na segunda igualdade,
Rearranjando,
Passo 4
Agora consideramos dois casos:
Caso 1:
. Então da equação
segue
, isto é,
Como
e
são inteiros, as únicas possibilidades são
ou
. Portanto
ou seja,
.
Passo 5
Caso 2:
. Então de
vem
, logo
. Assim
e
, o que também satisfaz
(pois
).
Resposta
Logo, em todo caso, concluímos que