Sejam a e b dois inteiros. Se a mid b e b mid a, mostre que a= pm b.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros tais que amid b e bmid a. O conteúdo é divisibilidade em Z. Para resolver, vamos usar a definição: se amid b então existe kinZ com b=ak; e se bmid a então existe linZ com a=bl.

Passo 2

Da condição amid b segue que existe kinZ tal que
b = a,k
Da condição bmid a segue que existe linZ tal que
a = b,l

Passo 3

Substituindo b = a,k na segunda igualdade,
a = (a,k),l = a,(k,l)
Rearranjando,
a,(k,l - 1)=0

Passo 4

Agora consideramos dois casos:
Caso 1: aneq0. Então da equação a,(k,l -1)=0 segue k,l -1=0, isto é,
k,l = 1
Como k e l são inteiros, as únicas possibilidades são (k,l)=(1,1) ou (k,l)=(-1,-1). Portanto
b = a,k = aou b = a,k = -a,
ou seja, a = pm b.

Passo 5

Caso 2: a=0. Então de amid b vem b = a,c = 0cdot c = 0, logo b=0. Assim a=0 e b=0, o que também satisfaz a = pm b (pois 0 = +0 = -0).

Resposta

Logo, em todo caso, concluímos que
a = pm b

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