Sejam
e
transformações lineares dadas por
Considere os vetores
e
.
(a) Calcule
e
(b) Obtenha uma expressão para
.
(c) Calcule
e
.
(d) Obtenha uma expressão para
.
(e) Calcule
e
.
(f) Obtenha uma expressão para
.
(g) Obtenha uma expressão para
.
(h) Obtenha uma expressão para
. Compare com o item anterior.
(i) Obtenha uma expressão para
.
(a) Calcule
(b) Obtenha uma expressão para
(c) Calcule
(d) Obtenha uma expressão para
(e) Calcule
(f) Obtenha uma expressão para
(g) Obtenha uma expressão para
(h) Obtenha uma expressão para
(i) Obtenha uma expressão para
Passo 1
O enunciado define três transformações lineares:
com
Precisamos ainda dos vetores
e calcular várias combinações lineares e composições.
Passo 2
(a) Primeiro montamos
agindo em
e
:
- Para
: logo - Para
: logo
Passo 3
(b) Para
, somando
e
termo a termo:
então
Passo 4
(c) Agora compomos
em
e
. Já temos
Aplicando
:
Passo 5
(d) Para um polinômio geral
, temos
logo
Passo 6
(e) Agora
. Primeiro
Aplicando
:
Passo 7
(f) Para
, temos
logo
Passo 8
(g) Vamos calcular
. De (b) sabemos
Aplicando
:
Passo 9
(h) Agora somamos
e
de (d) e (f):
É idêntico ao resultado de (g), confirmando a linearidade de
.
Passo 10
(i) Finalmente,
em
. Para
temos
então
Ou seja,
.
Resposta
(a)
,
.
(b) .
(c) ,
.
(d) .
(e) ,
.
(f) .
(g) .
(h) , o mesmo de (g).
(i) .
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)