Sejam F: P2(R) P1(R), G: P2(R) P1(R) e H: P1(R) P1(R) transformações lineares dadas por
F(a+b t+c t^2) & =b+(a+c) t G(a+b t+c t^2) & =2 c+(a-b) t H(a+b t) & =b+2 a t
Considere os vetores v=4-t+5 t^2 e w=3+4 t+t^2.
(a) Calcule (F+G)(v) e (F+G)(w)
(b) Obtenha uma expressão para F+G.
(c) Calcule (H circ F)(v) e (H circ F)(w).
(d) Obtenha uma expressão para H circ F.
(e) Calcule (H circ G)(v) e (H circ G)(w).
(f) Obtenha uma expressão para H circ G.
(g) Obtenha uma expressão para H circ(F+G).
(h) Obtenha uma expressão para H circ F+H circ G. Compare com o item anterior.
(i) Obtenha uma expressão para H^2=H circ H.

Passo 1

O enunciado define três transformações lineares:
F,P2(R)to P1(R), G,P2(R)to P1(R), H,P1(R)to P1(R),
com
F(a+bt+ct^2)=b+(a+c)t, G(a+bt+ct^2)=2c+(a-b)t, H(alpha+beta t)=beta+2alpha,t
Precisamos ainda dos vetores
boldsymbol v=4 - t + 5t^2, boldsymbol w=3 + 4t + t^2,
e calcular várias combinações lineares e composições.

Passo 2

(a) Primeiro montamos F+G agindo em boldsymbol v e boldsymbol w:
  • Para boldsymbol v: a=4, b=-1, c=5: F(boldsymbol v)=-1+(4+5)t=-1+9t, G(boldsymbol v)=2cdot5+(4-(-1))t=10+5t, logo (F+G)(boldsymbol v)=(-1+9t)+(10+5t)=9+14t
  • Para boldsymbol w: a=3, b=4, c=1: F(boldsymbol w)=4+(3+1)t=4+4t, G(boldsymbol w)=2cdot1+(3-4)t=2-t, logo (F+G)(boldsymbol w)=(4+4t)+(2-t)=6+3t

Passo 3

(b) Para p=a+bt+ct^2, somando F e G termo a termo:
F(p)=b+(a+c)t, G(p)=2c+(a-b)t,
então
(F+G)(p)=(b+2c)+l[(a+c)+(a-b)r]t =(b+2c)+(2a+c-b),t

Passo 4

(c) Agora compomos Hcirc F em boldsymbol v e boldsymbol w. Já temos
F(boldsymbol v)=-1+9t, F(boldsymbol w)=4+4t
Aplicando H(alpha+beta t)=beta+2alpha,t:
(Hcirc F)(boldsymbol v)=H(-1+9t)=9+2(-1),t=9-2t,
(Hcirc F)(boldsymbol w)=H(4+4t)=4+2cdot4,t=4+8t

Passo 5

(d) Para um polinômio geral p=a+bt+ct^2, temos
F(p)=b+(a+c)t,
logo
(Hcirc F)(p)=Hl(b+(a+c)tr)=(a+c)+2b,t

Passo 6

(e) Agora Hcirc G. Primeiro
G(boldsymbol v)=10+5t, G(boldsymbol w)=2-t
Aplicando H:
(Hcirc G)(boldsymbol v)=H(10+5t)=5+2cdot10,t=5+20t,
(Hcirc G)(boldsymbol w)=H(2 - t)=-1+2cdot2,t=-1+4t

Passo 7

(f) Para p=a+bt+ct^2, temos
G(p)=2c+(a-b)t,
logo
(Hcirc G)(p)=Hl(2c+(a-b)tr)=(a-b)+2cdot2c,t=(a-b)+4c,t

Passo 8

(g) Vamos calcular Hcirc(F+G). De (b) sabemos
(F+G)(p)=(b+2c)+(2a+c-b)t
Aplicando H:
l(Hcirc(F+G)r)(p)=(2a+c-b)+2(b+2c),t=(2a+c-b)+(2b+4c),t

Passo 9

(h) Agora somamos Hcirc F e Hcirc G de (d) e (f):
(Hcirc F)(p)+(Hcirc G)(p) =l[(a+c)+2b,tr]+l[(a-b)+4c,tr] =(2a+c-b)+(2b+4c),t
É idêntico ao resultado de (g), confirmando a linearidade de H.

Passo 10

(i) Finalmente, H^2=Hcirc H em P1( R). Para q(alpha+beta t) temos
H(alpha+beta t)=beta+2alpha,t,
então
H^2(alpha+beta t) =Hl(beta+2alpha,tr) =2alpha+2beta,t =2(alpha+beta t)
Ou seja, H^2=2,Id.

Resposta

(a) (F+G)(boldsymbol v)=9+14t, (F+G)(boldsymbol w)=6+3t.
(b) (F+G)(a+bt+ct^2)=(b+2c)+(2a+c-b)t.
(c) (Hcirc F)(boldsymbol v)=9-2t, (Hcirc F)(boldsymbol w)=4+8t.
(d) (Hcirc F)(a+bt+ct^2)=(a+c)+2b,t.
(e) (Hcirc G)(boldsymbol v)=5+20t, (Hcirc G)(boldsymbol w)=-1+4t.
(f) (Hcirc G)(a+bt+ct^2)=(a-b)+4c,t.
(g) l(Hcirc(F+G)r)(a+bt+ct^2)=(2a+c-b)+(2b+4c)t.
(h) (Hcirc F+Hcirc G)(a+bt+ct^2)=(2a+c-b)+(2b+4c)t, o mesmo de (g).
(i) H^2(alpha+beta t)=2(alpha+beta t).

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