Mostre que um operador linear T em um espaço de Hilbert H que satisfaz <T x, y>=<x, T y>, forall x, y in H é sempre limitado. Sugestão: Teorema do Gráfico fechado

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um operador linear Tcolon Hto H num espaço de Hilbert H, que satisfaz
lang<= T x, yrang<= = lang<= x, T yrang<=forall x,yin H,
é necessariamente limitado.
Conteúdo envolvido: teorema do gráfico fechado (ou Hellinger–Toeplitz). Vamos usar que H é Banach e provar que o grafo de T é fechado.

Passo 2

Provar que o grafo de T
G(T)=(x,T x)mid xin H
é fechado em Htimes H. Para isso, considere uma sequência xnsubset H tal que
xnto x e T xnto y
em H. Queremos mostrar que y=T x. Para qualquer zin H, usando a simetria de T e a continuidade do produto interno, temos
lang<= y,zrang<= =limntoinftylang<= T xn, zrang<= =limntoinftylang<= xn, T zrang<= =lang<= x, T zrang<= =lang<= T x, zrang<=
Logo lang<= y - T x,zrang<==0 para todo z, o que implica y-T x=0 e, portanto, y=T x. Assim G(T) é fechado.

Passo 3

Como H é Banach e T é linear com domínio todo H, o teorema do gráfico fechado garante que T é contínuo. Num espaço de Banach, contínuo equivale a limitado.

Resposta

T é limitado.

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