Mostre que um operador linear
em um espaço de Hilbert
que satisfaz
é sempre limitado. Sugestão: Teorema do Gráfico fechado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um operador linear
num espaço de Hilbert
, que satisfaz
é necessariamente limitado.
Conteúdo envolvido: teorema do gráfico fechado (ou Hellinger–Toeplitz). Vamos usar que é Banach e provar que o grafo de
é fechado.
Conteúdo envolvido: teorema do gráfico fechado (ou Hellinger–Toeplitz). Vamos usar que
Passo 2
Provar que o grafo de
é fechado em
. Para isso, considere uma sequência
tal que
em
. Queremos mostrar que
. Para qualquer
, usando a simetria de
e a continuidade do produto interno, temos
Logo
para todo
, o que implica
e, portanto,
. Assim
é fechado.
Passo 3
Como
é Banach e
é linear com domínio todo
, o teorema do gráfico fechado garante que
é contínuo. Num espaço de Banach, contínuo equivale a limitado.