Sejam H um espaço de Hilbert complexo e T: H H linear. Se <T h, h>=0, forall h in H, mostre que T equiv 0. O mesmo é válido para espaços reais?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço de Hilbert complexo H, se um operador linear Tcolon Hto H satisfaz
lang<= T h, hrang<= = 0, forall hin H,
então necessariamente Tequiv 0. O conteúdo que vamos usar é a identidade de polarização para formas sesquilineares em espaços complexos e o fato de que o produto interno é não-degenerado.

Passo 2

Definimos a forma sesquilinear associada a T por
varphi(x,y)=lang<= T x,yrang<=, x,yin H
O dado lang<= T h,hrang<==0 diz que a “quadrática”
Q(h)=varphi(h,h)
é zero para todo hin H.

Passo 3

Aplicamos a identidade de polarização em espaços complexos, que diz
4,varphi(x,y) =varphi(x+y,x+y)-varphi(x-y,x-y) +i,varphi(x+i y,x+i y)-i,varphi(x-i y,x-i y)
Como varphi(u,u)=Q(u)=0 para todo u, cada termo à direita é zero. Logo varphi(x,y)=0 para todos x,yin H.

Passo 4

Dado que lang<= T x,yrang<==0 para todo y, pela não-degenerescência do produto interno vem T x=0. Como isso vale para todo x, concluímos Tequiv 0.

Passo 5

No caso real, a identidade de polarização é diferente e apenas garante que a parte simétrica de T se anula. Assim, T pode ser não zero mesmo com lang<= T h,hrang<==0. Por exemplo, em R^2 a rotação de 90^circ satisfaz lang<= T h,hrang<==0 mas Tneq0.

Resposta

Em um espaço de Hilbert complexo, Tequiv0.
Em um espaço de Hilbert real, a conclusão não vale em geral (por exemplo, rotação de 90^circ em R^2).

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