Sejam
um espaço de Hilbert complexo e
linear. Se
, mostre que
. O mesmo é válido para espaços reais?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço de Hilbert complexo
, se um operador linear
satisfaz
então necessariamente
. O conteúdo que vamos usar é a identidade de polarização para formas sesquilineares em espaços complexos e o fato de que o produto interno é não-degenerado.
Passo 2
Definimos a forma sesquilinear associada a
por
O dado
diz que a “quadrática”
é zero para todo
.
Passo 3
Aplicamos a identidade de polarização em espaços complexos, que diz
Como
para todo
, cada termo à direita é zero. Logo
para todos
.
Passo 4
Dado que
para todo
, pela não-degenerescência do produto interno vem
. Como isso vale para todo
, concluímos
.
Passo 5
No caso real, a identidade de polarização é diferente e apenas garante que a parte simétrica de
se anula. Assim,
pode ser não zero mesmo com
. Por exemplo, em
a rotação de
satisfaz
mas
.
Resposta
Em um espaço de Hilbert complexo,
.
Em um espaço de Hilbert real, a conclusão não vale em geral (por exemplo, rotação de em
).
Em um espaço de Hilbert real, a conclusão não vale em geral (por exemplo, rotação de