Seja R uma matriz real n times n dada, e M=R^t R.
(a) Mostre que M é uma matriz real simétrica n times n e que x^t M x >= 0 para todo o x in R^n.
(b) Prove que os valores próprios de M são números reais não negativos.
(c) Mostre que a matriz M é singular se e só se R o for.
(d) Dê um exemplo que mostre que as multiplicidades algébricas de zero como valor próprio de R e M não são necessariamente iguais. O que pode dizer quanto às multiplicidades geométricas? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz real R de ordem n e define M=R^tR. Precisamos mostrar:
(a) M é real, simétrica e x^tMx>=0 para todo xin R^n;
(b) os autovalores de M são reais e não negativos;
(c) M é singular se e só se R o for;
(d) dar um exemplo em que a multiplicidade algébrica de zero em R e em M difira e discutir a multiplicidade geométrica de zero.
Para isso usaremos propriedades de transposta, produto interno, determinante de produto e noções de núcleo e autovalores de matrizes simétricas.

Passo 2

Mostramos que M é simétrica e real. Como R tem entrada real, R^t também. Além disso
M^t=(R^tR)^t=R^t,(R^t)^t=R^tR=M,
logo M é simétrica e em particular real.

Passo 3

Para ver que M é semidefinida positiva, calculamos para todo xin R^n:
x^tMx =x^t(R^tR)x =(Rx)^t(Rx) =|Rx|^2 >=0

Passo 4

(a) e (b) estão quase concluídas: como M é real e simétrica, seus autovalores são reais. Além disso, a semidefinição positiva ( x^tMx>=0) implica que todo autovalor lambda satisfaz
lambda =v^tMvv^tv >=0
para qualquer autovetor vneq0. Logo os autovalores de M são não negativos.

Passo 5

Para (c) usamos determinantes:
det(M)=det(R^tR)=det(R^t)det(R) =(det R)^2
Portanto det(M)=0 se e só se det(R)=0, isto é, M é singular exatamente quando R é singular.

Passo 6

Para (d), considere
R=0&10&0
Os autovalores de R são ambos zero (multiplicidade algébrica 2), mas
M=R^tR =0&01&0 0&10&0 =1&00&0
tem zero como autovalor de multiplicidade algébrica 1 (e 1 como outro autovalor).
No entanto, o núcleo de R é (x,0) e o de M é (0,y), ambos de dimensão 1. Logo a multiplicidade geométrica de zero coincide em R e em M, mesmo quando as multiplicidades algébricas diferem.

Resposta

(a) M é real simétrica e satisfaz x^tMx>=0 (semidefinida positiva).
(b) Logo, os autovalores de M são reais e >=0.
(c) det(M)=(det R)^2, então M é singular sse R o for.
(d) Exemplo:
R=0&10&0, M=R^tR=1&00&0
Aqui mu<alg0(R)=2, mu<alg0(M)=1, mas dimker R=dimker M=1, ou seja, a multiplicidade geométrica de zero coincide.

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