Seja
uma matriz real
dada, e
.
(a) Mostre que
é uma matriz real simétrica
e que
para todo o
.
(b) Prove que os valores próprios de
são números reais não negativos.
(c) Mostre que a matriz
é singular se e só se
o for.
(d) Dê um exemplo que mostre que as multiplicidades algébricas de zero como valor próprio de
e
não são necessariamente iguais. O que pode dizer quanto às multiplicidades geométricas? Justifique.
(a) Mostre que
(b) Prove que os valores próprios de
(c) Mostre que a matriz
(d) Dê um exemplo que mostre que as multiplicidades algébricas de zero como valor próprio de
Passo 1
O enunciado dá uma matriz real
de ordem
e define
. Precisamos mostrar:
(a) é real, simétrica e
para todo
;
(b) os autovalores de são reais e não negativos;
(c) é singular se e só se
o for;
(d) dar um exemplo em que a multiplicidade algébrica de zero em e em
difira e discutir a multiplicidade geométrica de zero.
Para isso usaremos propriedades de transposta, produto interno, determinante de produto e noções de núcleo e autovalores de matrizes simétricas.
(a)
(b) os autovalores de
(c)
(d) dar um exemplo em que a multiplicidade algébrica de zero em
Para isso usaremos propriedades de transposta, produto interno, determinante de produto e noções de núcleo e autovalores de matrizes simétricas.
Passo 2
Mostramos que
é simétrica e real. Como
tem entrada real,
também. Além disso
logo
é simétrica e em particular real.
Passo 3
Para ver que
é semidefinida positiva, calculamos para todo
:
Passo 4
(a) e (b) estão quase concluídas: como
é real e simétrica, seus autovalores são reais. Além disso, a semidefinição positiva (
) implica que todo autovalor
satisfaz
para qualquer autovetor
. Logo os autovalores de
são não negativos.
Passo 5
Para (c) usamos determinantes:
Portanto
se e só se
, isto é,
é singular exatamente quando
é singular.
Passo 6
Para (d), considere
Os autovalores de
são ambos zero (multiplicidade algébrica 2), mas
tem zero como autovalor de multiplicidade algébrica 1 (e 1 como outro autovalor).
No entanto, o núcleo de é
e o de
é
, ambos de dimensão 1. Logo a multiplicidade geométrica de zero coincide em
e em
, mesmo quando as multiplicidades algébricas diferem.
No entanto, o núcleo de
Resposta
(a)
é real simétrica e satisfaz
(semidefinida positiva).
(b) Logo, os autovalores de são reais e
.
(c) , então
é singular sse
o for.
(d) Exemplo:
(b) Logo, os autovalores de
(c)
(d) Exemplo:
Aqui
,
, mas
, ou seja, a multiplicidade geométrica de zero coincide.