Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ b & a\end{array}\right] sempre admite autovalores

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = \begin{pmatrix}a & b\\\ b & a\end{pmatrix}
sempre admite autovalores. O conteúdo principal é o cálculo do polinômio característico e a resolução da equação quadrática resultante para encontrar os autovalores \lambda.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante de A - \lambda I. Temos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}a-\lambda & b \\[6pt] b & a-\lambda\end{pmatrix}
e seu determinante é
\det(A - \lambda I) = (a-\lambda)(a-\lambda) - b \cdot b = (a-\lambda)^2 - b^2.
]

Passo 3

O polinômio característico é
p(\lambda) = (a-\lambda)^2 - b^2 = 0.
Isso expande para
\lambda^2 - 2a\lambda + (a^2 - b^2) = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara, os autovalores são
\lambda = \frac{2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4\,(a^2 - b^2)}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{4b^2}}{2} = a \pm b.

Passo 4

Como a e b são números reais quaisquer, a+b e a-b são sempre números reais. Logo, a matriz A sempre possui dois autovalores (podendo ser iguais se b=0).

Resposta

Os autovalores de
A = \begin{pmatrix}a & b\\\ b & a\end{pmatrix}
são
\lambda_{1} = a + b, \quad \lambda_{2} = a - b.

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