Mostre que:
Se \operatorname{dim} V=n e \beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} gera V, então \beta é base de V.

Passo 1

Temos um espaço vetorial V tal que \dim V = n e um conjunto \beta = \{v_{1}, \dots, v_{n}\} que gera V. O objetivo é mostrar que \beta é base de V. Para isso, vamos usar a definição de base (gerador + linearmente independente) e a propriedade de dimensão de conjuntos geradores em espaços finito-dimensionais.

Passo 2

Lembrando que uma base de V é um conjunto que gera V e é linearmente independente. Já sabemos que \beta gera V. Logo, basta provar que \beta é linearmente independente. Faremos isso por contradição, assumindo que exista uma relação de dependência não trivial e mostrando que isso viola a definição de dimensão.

Passo 3

Suponha que haja escalares a_{1},\dots,a_{n}, nem todos zero, tais que
\sum_{i=1}^{n} a_{i}\,v_{i} \;=\; 0.
Como nem todos os a_{i} são zero, sem perda de generalidade podemos supor a_{n}\neq 0. Então
v_{n} \;=\; -\frac{1}{a_{n}}\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}\,v_{i}.

Passo 4

Defina S' = \{v_{1},\dots,v_{n-1}\}. Vamos mostrar que S' ainda gera V. Tome um vetor arbitrário v\in V. Como \beta gera V, existem b_{1},\dots,b_{n} tais que
v \;=\; \sum_{i=1}^{n} b_{i}\,v_{i}.
Substituindo v_{n} pela combinação dos v_{1},\dots,v_{n-1}, obtemos uma expressão de v somente em termos de S'. Logo, S' gera V e tem apenas n-1 vetores.

Passo 5

Mas isso contradiz o fato de que, em um espaço de dimensão n, todo conjunto que gera deve ter pelo menos n vetores. Portanto, nossa hipótese de dependência era falsa, e \beta é de fato linearmente independente.

Resposta

Como \beta gera V e já demonstramos que é linearmente independente, concluímos que \beta é base de V.

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