Mostre que:
Se
e
gera
, então
é base de
.
Se
Passo 1
Temos um espaço vetorial
tal que
e um conjunto
que gera
. O objetivo é mostrar que
é base de
. Para isso, vamos usar a definição de base (gerador
linearmente independente) e a propriedade de dimensão de conjuntos geradores em espaços finito-dimensionais.
Passo 2
Lembrando que uma base de
é um conjunto que gera
e é linearmente independente. Já sabemos que
gera
. Logo, basta provar que
é linearmente independente. Faremos isso por contradição, assumindo que exista uma relação de dependência não trivial e mostrando que isso viola a definição de dimensão.
Passo 3
Suponha que haja escalares
, nem todos zero, tais que
Como nem todos os
são zero, sem perda de generalidade podemos supor
. Então
Passo 4
Defina
. Vamos mostrar que
ainda gera
. Tome um vetor arbitrário
. Como
gera
, existem
tais que
Substituindo
pela combinação dos
, obtemos uma expressão de
somente em termos de
. Logo,
gera
e tem apenas
vetores.
Passo 5
Mas isso contradiz o fato de que, em um espaço de dimensão
, todo conjunto que gera deve ter pelo menos
vetores. Portanto, nossa hipótese de dependência era falsa, e
é de fato linearmente independente.
Resposta
Como
gera
e já demonstramos que é linearmente independente, concluímos que
é base de
.