3 Qual a transformação T: R^{3} \longrightarrow R^{2} tal que T(3,2,1)=(1,1), T(0,1,0)= (0,-2) e T(0,0,1)=(0,0) ?

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
que satisfaça
T(3,2,1) = (1,1),\quad T(0,1,0) = (0,-2),\quad T(0,0,1) = (0,0).
Para resolver, vamos usar o fato de que toda transformação linear fica determinada pelos valores em uma base, aqui podemos usar os vetores e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1).

Passo 2

Sejam
T(e_1) = (a_1,b_1),\quad T(e_2) = (a_2,b_2),\quad T(e_3) = (a_3,b_3).
Por linearidade, para qualquer (x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 vale
T(x_1,x_2,x_3) = x_1\,T(e_1)+x_2\,T(e_2)+x_3\,T(e_3) = \bigl(x_1a_1 + x_2a_2 + x_3a_3,\;x_1b_1 + x_2b_2 + x_3b_3\bigr).

Passo 3

Da condição T(0,0,1)=(0,0) temos
T(e_3)=(a_3,b_3)=(0,0).

Passo 4

Da condição T(0,1,0)=(0,-2) segue
T(e_2)=(a_2,b_2)=(0,-2).

Passo 5

Da condição
T(3,2,1)=3\,T(e_1)+2\,T(e_2)+1\,T(e_3)=(1,1)
substituímos T(e_2)=(0,-2) e T(e_3)=(0,0), obtendo
3(a_1,b_1)+2(0,-2)+(0,0)=(1,1) \;\Longrightarrow\; (3a_1,\;3b_1-4)=(1,1).
Isto dá o sistema
3a_1=1,\quad 3b_1-4=1 \;\Longrightarrow\; a_1=\tfrac13,\quad b_1=\tfrac53.

Passo 6

Logo
T(e_1)=\Bigl(\tfrac13,\tfrac53\Bigr),\quad T(e_2)=(0,-2),\quad T(e_3)=(0,0),
e por linearidade, para todo (x_1,x_2,x_3),
T(x_1,x_2,x_3) =\Bigl(\tfrac13x_1,\;\tfrac53x_1-2x_2\Bigr).

Resposta

\boxed{T(x_1,x_2,x_3)=\bigl(\tfrac{x_1}{3},\,\tfrac{5x_1}{3}-2x_2\bigr).}

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