Mostre que:
Se
e
não pode ser escrito como combinação linear dos vetores LI
, então
é uma base de
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que
é um espaço vetorial de dimensão
e que
é um conjunto de
vetores linearmente independentes em
. Além disso,
não pertence ao span de
. Precisamos mostrar que o conjunto
é uma base de
. Para isso, basta provar que ele é linearmente independente e tem
vetores num espaço de dimensão
.
Passo 2
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
Se
, podemos escrever
o que contradiz a hipótese de que
não está no span de
. Logo, deve ser
. Com isso, a combinação reduz-se a
e como
é linearmente independente, segue
. Concluímos que todos os
são nulos, ou seja, o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Já que
tem
vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão
, pelo teorema fundamental da dimensão, esse conjunto é automaticamente uma base de
.