Mostre que:
Se \operatorname{dim} V=n e u \in V não pode ser escrito como combinação linear dos vetores LI \left\{v_{1}, \ldots, v_{n-1}\right\}, então \left\{v_{1}, \ldots, v_{n-1}, u\right\} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado afirma que V é um espaço vetorial de dimensão \,n e que
\{v_{1},\dots,v_{n-1}\} é um conjunto de n-1 vetores linearmente independentes em V. Além disso, u\in V não pertence ao span de \{v_{1},\dots,v_{n-1}\}. Precisamos mostrar que o conjunto
\{v_{1},\dots,v_{n-1},u\}
é uma base de V. Para isso, basta provar que ele é linearmente independente e tem n vetores num espaço de dimensão n.

Passo 2

Mostramos que \{v_{1},\dots,v_{n-1},u\} é linearmente independente. Suponha que existam escalares c_{1},\dots,c_{n-1},c_{n} tais que
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n-1}v_{n-1}+c_{n}u \;=\;0.
Se c_{n}\neq 0, podemos escrever
u \;=\; -\frac{1}{c_{n}}\bigl(c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n-1}v_{n-1}\bigr),
o que contradiz a hipótese de que u não está no span de \{v_{1},\dots,v_{n-1}\}. Logo, deve ser c_{n}=0. Com isso, a combinação reduz-se a
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n-1}v_{n-1}=0,
e como \{v_{1},\dots,v_{n-1}\} é linearmente independente, segue c_{1}=\cdots=c_{n-1}=0. Concluímos que todos os c_{i} são nulos, ou seja, o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Já que \{v_{1},\dots,v_{n-1},u\} tem n vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão n, pelo teorema fundamental da dimensão, esse conjunto é automaticamente uma base de V.

Resposta

\{v_{1},\dots,v_{n-1},u\} é uma base de V.

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