Sejam
e
dois subespaços do espaço vetorial
, tais que
e
. Se
é base de
e
é base de
, mostre que:
(a) Se
, então
só é combinação linear de
se
.
(b) Se
e
, então
é LI.
(c)
é LI.
(d)
é uma base de
.
(e)
.
(a) Se
(b) Se
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de
tais que
Além disso
é base de
e
é base de
.
Isso significa que todo vetor de escreve-se unicamente como combinação linear de
, e todo vetor de
como combinação linear de
.
Vamos usar essas propriedades e o fato de para provar (a)–(e).
Isso significa que todo vetor de
Vamos usar essas propriedades e o fato de
Passo 2
(a) Seja
. Suponha que
para certos escalares
. O lado direito pertence a
(pois é combinação de
), e o lado esquerdo está em
. Logo
isto é,
. Portanto, o único caso em que
se escreve como combinação de
é
.
Passo 3
(b) Seja
e
. Queremos mostrar que
é linearmente independente. Suponha
Reescrevendo,
O membro da esquerda está em
e o da direita em
, logo
. Como
, deve ser
. Com
sobra
e pelos
serem base de
temos
para todo
. Concluímos que todos os coeficientes são nulos, ou seja, o conjunto é LI.
Passo 4
(c) Para ver que
é LI, suponha
O primeiro somatório está em
e o segundo em
, então cada lado vive em
. Logo ambos devem ser zero separadamente:
Pela independência de
segue
para todo
, e pela de
segue
para todo
. Assim
é LI.
Passo 5
(d) Já temos que
é LI. Falta ver que gera
. Tomemos
. Como
, escrevemos
Então
se exprime em
e
em
, mostrando que
é combinação de
. Portanto
é base de
.
Passo 6
(e) Como
tem
vetores e
tem
, a base
tem
vetores. Mas o número de vetores de qualquer base de
é
. Logo
Resposta
(a) Se
e
também é combinação de
, então
, logo
.
(b) Para em
, a combinação
força
(pois
) e depois
, mostrando que
é LI.
(c) Supondo e usando
mostra-se que todos os coeficientes são zero, logo
é LI.
(d) Como , todo
é soma de algo em
e algo em
, logo gera
. Portanto é base de
.
(e) Sendo e
, a base de
tem
elementos, isto é,
(b) Para
(c) Supondo
(d) Como
(e) Sendo