Sejam S_{1} e S_{2} dois subespaços do espaço vetorial V, tais que S_{1} \cap S_{2}=\{0\} e S_{1}+S_{2}=V. Se \beta_{1}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{p}\right\} é base de S_{1} e \beta_{2}=\left\{w_{1}, \ldots, w_{q}\right\} é base de S_{2}, mostre que:
(a) Se w \in S_{2}, então w só é combinação linear de \beta_{1} se w=0.
(b) Se w \in S_{2} e w \neq 0, então \left\{v_{1}, \ldots, v_{p}, w\right\} é LI.
(c) \beta_{1} \cup \beta_{2} é LI.
(d) \beta_{1} \cup \beta_{2} é uma base de V.
(e) \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} S_{1}+\operatorname{dim} S_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que S_{1} e S_{2} são subespaços de V tais que
S_{1}\cap S_{2}=\{0\},\qquad S_{1}+S_{2}=V.
Além disso \beta_{1}=\{v_{1},\dots,v_{p}\} é base de S_{1} e \beta_{2}=\{w_{1},\dots,w_{q}\} é base de S_{2}.
Isso significa que todo vetor de S_{1} escreve-se unicamente como combinação linear de \beta_{1}, e todo vetor de S_{2} como combinação linear de \beta_{2}.
Vamos usar essas propriedades e o fato de S_{1}\cap S_{2}=\{0\} para provar (a)–(e).

Passo 2

(a) Seja w\in S_{2}. Suponha que
w = \sum_{i=1}^{p}a_{i}v_{i}
para certos escalares a_{i}. O lado direito pertence a S_{1} (pois é combinação de \beta_{1}), e o lado esquerdo está em S_{2}. Logo
w\in S_{1}\cap S_{2}=\{0\},
isto é, w=0. Portanto, o único caso em que w\in S_{2} se escreve como combinação de \beta_{1} é w=0.

Passo 3

(b) Seja w\in S_{2} e w\neq 0. Queremos mostrar que \{v_{1},\dots,v_{p},w\} é linearmente independente. Suponha
\sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}v_{i}+\beta\,w \;=\;0.
Reescrevendo,
\beta\,w = -\sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}v_{i}.
O membro da esquerda está em S_{2} e o da direita em S_{1}, logo \beta\,w\in S_{1}\cap S_{2}=\{0\}. Como w\neq 0, deve ser \beta=0. Com \beta=0 sobra
\sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}v_{i}=0,
e pelos v_{i} serem base de S_{1} temos \alpha_{i}=0 para todo i. Concluímos que todos os coeficientes são nulos, ou seja, o conjunto é LI.

Passo 4

(c) Para ver que \beta_{1}\cup \beta_{2} é LI, suponha
\sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}v_{i}+\sum_{j=1}^{q}\beta_{j}w_{j}=0.
O primeiro somatório está em S_{1} e o segundo em S_{2}, então cada lado vive em S_{1}\cap S_{2}=\{0\}. Logo ambos devem ser zero separadamente:
\sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}v_{i}=0,\quad \sum_{j=1}^{q}\beta_{j}w_{j}=0.
Pela independência de \beta_{1} segue \alpha_{i}=0 para todo i, e pela de \beta_{2} segue \beta_{j}=0 para todo j. Assim \beta_{1}\cup\beta_{2} é LI.

Passo 5

(d) Já temos que \beta_{1}\cup\beta_{2} é LI. Falta ver que gera V. Tomemos v\in V. Como V=S_{1}+S_{2}, escrevemos
v = s_{1}+s_{2},\quad s_{1}\in S_{1},\;s_{2}\in S_{2}.
Então s_{1} se exprime em \beta_{1} e s_{2} em \beta_{2}, mostrando que v é combinação de \beta_{1}\cup\beta_{2}. Portanto \beta_{1}\cup\beta_{2} é base de V.

Passo 6

(e) Como \beta_{1} tem p=\dim S_{1} vetores e \beta_{2} tem q=\dim S_{2}, a base \beta_{1}\cup\beta_{2} tem p+q vetores. Mas o número de vetores de qualquer base de V é \dim V. Logo
\dim V = p+q = \dim S_{1} + \dim S_{2}.

Resposta

(a) Se w\in S_{2} e w também é combinação de \beta_{1}\subset S_{1}, então w\in S_{1}\cap S_{2}=\{0\}, logo w=0.
(b) Para w\neq0 em S_{2}, a combinação \sum\alpha_{i}v_{i}+\beta w=0 força \beta=0 (pois \beta w\in S_{1}\cap S_{2}) e depois \alpha_{i}=0, mostrando que \{v_{1},\dots,v_{p},w\} é LI.
(c) Supondo \sum\alpha_{i}v_{i}+\sum\beta_{j}w_{j}=0 e usando S_{1}\cap S_{2}=\{0\} mostra-se que todos os coeficientes são zero, logo \beta_{1}\cup\beta_{2} é LI.
(d) Como V=S_{1}+S_{2}, todo v\in V é soma de algo em S_{1} e algo em S_{2}, logo gera \beta_{1}\cup\beta_{2}. Portanto é base de V.
(e) Sendo |\beta_{1}|=\dim S_{1}=p e |\beta_{2}|=\dim S_{2}=q, a base de V tem p+q elementos, isto é,
\dim V = \dim S_{1} + \dim S_{2}.

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