Achar inteiros
e
que verifiquem:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar inteiros
e
tais que
Informações dadas:
- Os coeficientes são
e . - O termo à direita é
.
A tarefa é decidir se existemque satisfaçam essa igualdade e, se existirem, encontrá-los.
Passo 2
Vamos lembrar um resultado fundamental (explicado de forma simples): seja
e
inteiros não nulos e
o máximo divisor comum. Então
- qualquer combinação linear
é múltiplo de (porque divide e ); - recíprocamente, existe uma combinação linear que gera exatamente
: existem inteiros tais que . Isso é o Lema de Bézout.
Consequência prática: a equação diofantina linear
tem solução inteira se, e somente se,
divide
. Se
, então divide-se toda a equação por
e encontra-se uma solução particular (usando o algoritmo de Euclides estendido) e depois a solução geral. Se
, não existem soluções inteiras.
Passo 3
Aplicar o algoritmo de Euclides para calcular
. Faço as divisões sucessivas e escrevo restos:
Como o último resto não nulo é
, temos
Passo 4
Pelo Lema de Bézout, existe combinação linear que dá
. Vou expressar
como combinação de
e
fazendo back-substitution das igualdades acima:
A partir de e de
, obtemos
A partir de
Logo
Isto confirma que
é combinação linear de
e
.
Passo 5
Verificação da divisibilidade necessária para existir solução da equação original: como qualquer combinação
é múltiplo de
, o lado esquerdo da equação
só pode assumir valores múltiplos de
. Portanto, para existir solução inteira é preciso que
divida
. Mas
(pois
é menor que
e não é zero), logo a condição necessária falha.
Passo 6
Conclusão: não existem inteiros
e
tais que
. Para ficar claro o contraste, se o lado direito fosse múltiplo de
(por exemplo
ou
), aí haveria solução — por exemplo, para
uma solução particular é
,
porque
; a solução geral nesse caso seria
Resposta
Não existem inteiros
e
que verifiquem
.