Achar inteiros x e y que verifiquem:
238 x+51 y=3

Passo 1

O enunciado pede: encontrar inteiros x e y tais que
238x+51y=3.
Informações dadas:
  • Os coeficientes são 238 e 51.
  • O termo à direita é 3.
    A tarefa é decidir se existem x,y\in\mathbb{Z} que satisfaçam essa igualdade e, se existirem, encontrá-los.

Passo 2

Vamos lembrar um resultado fundamental (explicado de forma simples): seja a e b inteiros não nulos e d=\gcd(a,b) o máximo divisor comum. Então
  1. qualquer combinação linear ax+by é múltiplo de d (porque d divide a e b);
  2. recíprocamente, existe uma combinação linear que gera exatamente d: existem inteiros u,v tais que au+bv=d. Isso é o Lema de Bézout.
Consequência prática: a equação diofantina linear
ax+by=c
tem solução inteira se, e somente se, d=\gcd(a,b) divide c. Se d\mid c, então divide-se toda a equação por d e encontra-se uma solução particular (usando o algoritmo de Euclides estendido) e depois a solução geral. Se d\nmid c, não existem soluções inteiras.

Passo 3

Aplicar o algoritmo de Euclides para calcular \gcd(238,51). Faço as divisões sucessivas e escrevo restos:
238 = 51\cdot4 + 34,
51 = 34\cdot1 + 17,
34 = 17\cdot2 + 0.
Como o último resto não nulo é 17, temos
\gcd(238,51)=17.

Passo 4

Pelo Lema de Bézout, existe combinação linear que dá 17. Vou expressar 17 como combinação de 238 e 51 fazendo back-substitution das igualdades acima:
A partir de \;17 = 51 - 34\cdot1\; e de \;34 = 238 - 51\cdot4\;, obtemos
17 = 51 - (238 - 51\cdot4) = 51\cdot5 - 238.
Logo
17 = (-1)\cdot238 + 5\cdot51.
Isto confirma que 17 é combinação linear de 238 e 51.

Passo 5

Verificação da divisibilidade necessária para existir solução da equação original: como qualquer combinação 238x+51y é múltiplo de 17, o lado esquerdo da equação \;238x+51y=3\; só pode assumir valores múltiplos de 17. Portanto, para existir solução inteira é preciso que 17 divida 3. Mas 17\nmid 3 (pois 3 é menor que 17 e não é zero), logo a condição necessária falha.

Passo 6

Conclusão: não existem inteiros x e y tais que \;238x+51y=3\;. Para ficar claro o contraste, se o lado direito fosse múltiplo de 17 (por exemplo 17 ou 34), aí haveria solução — por exemplo, para 238x+51y=17 uma solução particular é x=-1, y=5 porque 17=(-1)\cdot238+5\cdot51; a solução geral nesse caso seria
x=-1+3t,\qquad y=5-14t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Resposta

Não existem inteiros x e y que verifiquem 238x+51y=3.

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