Encontre inteiros x e y :
\operatorname{mdc}(24,138)=24 x+138 y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar inteiros x e y tais que
\gcd(24,138)=24x+138y.
Informações dadas:
  • Os dois números são 24 e 138.
  • Quer-se escrever o máximo divisor comum desses números como combinação linear inteira dos dois: um inteiro multiplicando 24 mais um inteiro multiplicando 138.
    Não se começa a resolver ainda — apenas listei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Vamos primeiro calcular \gcd(24,138) usando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). A ideia do algoritmo de Euclides é que \gcd(a,b)=\gcd(b,r) onde r é o resto da divisão de a por b. Aplicando:
138 = 24\cdot5 + 18
24 = 18\cdot1 + 6
18 = 6\cdot3 + 0.
Quando o resto vira 0, o último resto não nulo é o \gcd. Portanto
\gcd(24,138)=6.
Explicando de forma simples: dividimos 138 por 24, sobra 18; dividimos 24 por 18, sobra 6; dividindo 18 por 6 sobra 0, então o \gcd é 6.

Passo 3

Agora queremos escrever 6 como combinação linear 24x+138y. Para isso usamos o algoritmo de Euclides estendido: voltamos nas igualdades obtidas e expressamos o último resto não nulo em função de 24 e 138.
Das divisões temos as igualdades (repetindo):
138 = 24\cdot5 + 18 \quad\Rightarrow\quad 18 = 138 - 24\cdot5.
24 = 18\cdot1 + 6 \quad\Rightarrow\quad 6 = 24 - 18\cdot1.
Substituímos a expressão de 18 na expressão de 6:
6 = 24 - (18)\cdot1 = 24 - \bigl(138 - 24\cdot5\bigr)\cdot1.
Distribuindo e reunindo termos em 24 e 138:
6 = 24 - 138 + 24\cdot5 = 24\cdot6 - 138\cdot1.
Assim obtemos diretamente uma combinação linear.

Passo 4

Da igualdade anterior lemos os coeficientes:
6 = 24\cdot6 + 138\cdot(-1).
Portanto uma solução inteira é
x=6,\qquad y=-1.
Sempre bom conferir: 24\cdot6 + 138\cdot(-1)=144-138=6, OK.

Passo 5

Também é útil saber todas as soluções inteiras. Se (x_0,y_0) é uma solução de 24x+138y=6 e d=\gcd(24,138)=6, então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{138}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{24}{d}\,t,
para todo t\in\mathbb{Z}. Aqui \dfrac{138}{6}=23 e \dfrac{24}{6}=4. Usando a solução particular (x_0,y_0)=(6,-1) obtemos a família completa:
x = 6 + 23t,\qquad y = -1 - 4t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida com t=1: x=29, y=-5 e 24\cdot29+138\cdot(-5)=696-690=6, funciona.

Resposta

x=6,\\ y=-1
x=6+23t,\\ y=-1-4t,\\ t\in\mathbb{Z}

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