Calcular \operatorname{cosh} z para z=x+iy usando a definição exponencial e a fórmula de Euler, passo a passo:
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{x+iy}+e^{-x-iy}}{2}.
Aplicando e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y) e e^{-x-iy}=e^{-x}(\cos y - i\sin y), obtemos
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{x}(\cos y + i\sin y) + e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.
Agrupando as partes reais e imaginárias:
\operatorname{cosh} z = \frac{(e^{x}+e^{-x})\cos y}{2} + i\,\frac{(e^{x}-e^{-x})\sin y}{2}.
Reconhecendo \operatorname{cosh} x = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} e \operatorname{sinh} x = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, temos a forma com parte real e imaginária explícitas:
\operatorname{cosh} z = \operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y.
Passo 4
Agora calculamos o módulo ao quadrado de \operatorname{cosh} z. Se a parte real é A=\operatorname{cosh} x\cos y e a parte imaginária é B=\operatorname{sinh} x\sin y, então
Reordenando os termos, chega-se exatamente à igualdade pedida.
Passo 5
Resumo didático final (tipo dica para a prova): a chave é escrever \operatorname{cosh}(x+iy) em termos das partes real e imaginária usando exponenciais e a fórmula de Euler, depois aplicar |a+ib|^{2}=a^{2}+b^{2} e usar as identidades \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1 e \cos^{2}y+\sin^{2}y=1. Isso transforma a expressão inicial em \operatorname{sinh}^{2}x+\cos^{2}y.
Resposta
|\operatorname{cosh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x+\cos^{2} y