Mostre que:
|\operatorname{cosh} z|^{2}=\operatorname{sinh} ^{2} x+\cos ^{2} y

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que a igualdade
|\operatorname{cosh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x+\cos^{2} y
vale para um número complexo z com partes reais x e y. Informação relevante que vamos usar: podemos escrever z como
z = x + i y,
onde x,y\in\mathbb{R}. O objetivo é provar que a norma ao quadrado de \operatorname{cosh} z (módulo ao quadrado) é igual à soma indicada.

Passo 2

Lembrando definições e identidades que serão usadas (aqui explico cada uma com calma):
  • Definição de hiperbólicas via exponenciais:
\operatorname{cosh} w = \frac{e^{w}+e^{-w}}{2},\qquad \operatorname{sinh} w = \frac{e^{w}-e^{-w}}{2},
para qualquer número complexo w. Nessas fórmulas, e^{w} é a exponencial complexa.
  • Fórmula de Euler para exponencial imaginária:
e^{i y} = \cos y + i\sin y,\qquad e^{-i y} = \cos y - i\sin y,
para y\in\mathbb{R}.
  • Definição de módulo ao quadrado de um número complexo u = a + i b:
|u|^{2} = a^{2}+b^{2} = u\,\overline{u},
onde \overline{u} é o conjugado complexo de u.
  • Identidades úteis:
\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = 1, \qquad \cos^{2}y + \sin^{2}y = 1.

Passo 3

Calcular \operatorname{cosh} z para z=x+iy usando a definição exponencial e a fórmula de Euler, passo a passo:
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{x+iy}+e^{-x-iy}}{2}.
Aplicando e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y) e e^{-x-iy}=e^{-x}(\cos y - i\sin y), obtemos
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{x}(\cos y + i\sin y) + e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.
Agrupando as partes reais e imaginárias:
\operatorname{cosh} z = \frac{(e^{x}+e^{-x})\cos y}{2} + i\,\frac{(e^{x}-e^{-x})\sin y}{2}.
Reconhecendo \operatorname{cosh} x = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} e \operatorname{sinh} x = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, temos a forma com parte real e imaginária explícitas:
\operatorname{cosh} z = \operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y.

Passo 4

Agora calculamos o módulo ao quadrado de \operatorname{cosh} z. Se a parte real é A=\operatorname{cosh} x\cos y e a parte imaginária é B=\operatorname{sinh} x\sin y, então
|\operatorname{cosh} z|^{2} = A^{2}+B^{2} = (\operatorname{cosh} x\cos y)^{2} + (\operatorname{sinh} x\sin y)^{2}.
Desenvolvendo e usando \operatorname{cosh}^{2}x = 1 + \operatorname{sinh}^{2}x, fazemos as manipulações algébricas:
|\operatorname{cosh} z|^{2} = \operatorname{cosh}^{2}x\cos^{2}y + \operatorname{sinh}^{2}x\sin^{2}y = (1+\operatorname{sinh}^{2}x)\cos^{2}y + \operatorname{sinh}^{2}x\sin^{2}y.
Agrupando os termos com \operatorname{sinh}^{2}x:
|\operatorname{cosh} z|^{2} = \cos^{2}y + \operatorname{sinh}^{2}x(\cos^{2}y+\sin^{2}y).
Usando \cos^{2}y+\sin^{2}y=1 obtemos
|\operatorname{cosh} z|^{2} = \cos^{2}y + \operatorname{sinh}^{2}x.
Reordenando os termos, chega-se exatamente à igualdade pedida.

Passo 5

Resumo didático final (tipo dica para a prova): a chave é escrever \operatorname{cosh}(x+iy) em termos das partes real e imaginária usando exponenciais e a fórmula de Euler, depois aplicar |a+ib|^{2}=a^{2}+b^{2} e usar as identidades \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1 e \cos^{2}y+\sin^{2}y=1. Isso transforma a expressão inicial em \operatorname{sinh}^{2}x+\cos^{2}y.

Resposta

|\operatorname{cosh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x+\cos^{2} y

Exercícios relacionados