Mostre que:
, se
Passo 1
O enunciado pede que se mostre a desigualdade
onde
. Informações fornecidas (implícitas e necessárias):
-
e são números reais. -
é o cosseno complexo avaliado em . -
e são as funções hiperbólicas usuais aplicadas a .
O objetivo é comparar o módulo (valor absoluto) de
com
e
.
Passo 2
Vamos escrever
de forma explícita em termos de
e
. Use a definição exponencial de cosseno:
Tomando
obtemos
Agora simplificar as exponenciais:
Somando e dividindo por
resulta
Reconhecendo as hiperbólicas
e
, temos a expressão clássica:
Passo 3
Se
com
e
, o módulo é dado por
Portanto
Escrevendo isso explicitamente:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão anterior usando a identidade hiperbólica
. Primeiro expanda
como
Somando o termo
obtemos
Como
, isso se reduz a
Essa fórmula muito simples é útil para as desigualdades.
Passo 5
Da expressão
vemos imediatamente duas coisas:
- Como
, tem-se
Tomando raiz quadrada (todos os lados são não-negativos) obtemos
Isto dá a desigualdade inferior desejada.
Passo 6
Ainda da mesma expressão, usando
, temos
Mas
pela identidade hiperbólica. Assim
e novamente tomando raiz quadrada (tudo não-negativo) resulta
Isto dá a desigualdade superior desejada.
Passo 7
Conclusão e comentários finais: juntando as desigualdades obtidas temos
Observação sobre casos de igualdade:
- A igualdade à esquerda,
, ocorre quando , isto é quando (por exemplo ). - A igualdade à direita,
, ocorre quando , isto é (por exemplo ).
Força nos estudos — você já tem aqui a ideia central e pode replicar essa conta passo a passo na prova.