Mostre que:
|\operatorname{sinh} y| \leq|\cos z| \leq \operatorname{cosh} y, se z=x+i y

Passo 1

O enunciado pede que se mostre a desigualdade
|\operatorname{sinh} y| \leq |\cos z| \leq \operatorname{cosh} y,
onde z = x + i y. Informações fornecidas (implícitas e necessárias):
  • x e y são números reais.
  • \cos z é o cosseno complexo avaliado em z=x+iy.
  • \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} são as funções hiperbólicas usuais aplicadas a y.
O objetivo é comparar o módulo (valor absoluto) de \cos z com \operatorname{sinh} y e \operatorname{cosh} y.

Passo 2

Vamos escrever \cos z de forma explícita em termos de x e y. Use a definição exponencial de cosseno:
\cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}\quad\text{para qualquer }w.
Tomando w=z=x+iy obtemos
\cos z = \frac{e^{i(x+iy)} + e^{-i(x+iy)}}{2}.
Agora simplificar as exponenciais:
e^{i(x+iy)} = e^{ix - y} = e^{-y}(\cos x + i\sin x),
e^{-i(x+iy)} = e^{-ix + y} = e^{y}(\cos x - i\sin x).
Somando e dividindo por 2 resulta
\cos z = \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\cos x \;-\; i\,\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\sin x.
Reconhecendo as hiperbólicas \operatorname{cosh} y = \dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2} e \operatorname{sinh} y = \dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}, temos a expressão clássica:
\cos z = \cos x\operatorname{cosh} y \;-\; i\sin x\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Se \cos z = A - iB com A=\cos x\operatorname{cosh} y e B=\sin x\operatorname{sinh} y, o módulo é dado por
|\cos z| = \sqrt{A^{2}+B^{2}}.
Portanto
|\cos z|^{2} = (\cos x\operatorname{cosh} y)^{2} + (\sin x\operatorname{sinh} y)^{2}.
Escrevendo isso explicitamente:
|\cos z|^{2} = \cos^{2}x\;\operatorname{cosh}^{2}y \;+\; \sin^{2}x\;\operatorname{sinh}^{2}y.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão anterior usando a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}y=1. Primeiro expanda \cos^{2}x\operatorname{cosh}^{2}y como
\cos^{2}x\operatorname{cosh}^{2}y = \cos^{2}x(1+\operatorname{sinh}^{2}y) = \cos^{2}x + \cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y.
Somando o termo \sin^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y obtemos
|\cos z|^{2} = \cos^{2}x + (\cos^{2}x+\sin^{2}x)\operatorname{sinh}^{2}y.
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, isso se reduz a
|\cos z|^{2} = \cos^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}y.
Essa fórmula muito simples é útil para as desigualdades.

Passo 5

Da expressão
|\cos z|^{2} = \cos^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}y,
vemos imediatamente duas coisas:
  • Como \cos^{2}x\ge 0, tem-se
|\cos z|^{2} \ge \operatorname{sinh}^{2}y.
Tomando raiz quadrada (todos os lados são não-negativos) obtemos
|\cos z| \ge |\operatorname{sinh} y|.
Isto dá a desigualdade inferior desejada.

Passo 6

Ainda da mesma expressão, usando \cos^{2}x\le 1, temos
|\cos z|^{2} = \cos^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}y \le 1 + \operatorname{sinh}^{2}y.
Mas 1 + \operatorname{sinh}^{2}y = \operatorname{cosh}^{2}y pela identidade hiperbólica. Assim
|\cos z|^{2} \le \operatorname{cosh}^{2}y,
e novamente tomando raiz quadrada (tudo não-negativo) resulta
|\cos z| \le \operatorname{cosh} y.
Isto dá a desigualdade superior desejada.

Passo 7

Conclusão e comentários finais: juntando as desigualdades obtidas temos
|\operatorname{sinh} y| \le |\cos z| \le \operatorname{cosh} y.
Observação sobre casos de igualdade:
  • A igualdade à esquerda, |\cos z|=|\operatorname{sinh} y|, ocorre quando \cos^{2}x=0, isto é quando \cos x=0 (por exemplo x=\pi/2+k\pi).
  • A igualdade à direita, |\cos z|=\operatorname{cosh} y, ocorre quando \cos^{2}x=1, isto é \cos x=\pm1 (por exemplo x=k\pi).
Força nos estudos — você já tem aqui a ideia central e pode replicar essa conta passo a passo na prova.

Resposta

|\operatorname{sinh} y| \leq |\cos z| \leq \operatorname{cosh} y

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